Obszar fundamentalny

Obszarem fundamentalnym dyskretnej grupy odwzorowań ${\displaystyle \Gamma }$ przestrzeni topologicznej X nazywany jest podzbiór ${\displaystyle D}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ który zawiera po jednym elementcie każdej z orbit odwzorowania z grupy ${\displaystyle \Gamma }$^[1]. Jest kilka wariantów uściślenia pojęcia obszaru fundamentalnego:

1. Często zakłada się dodatkowo, że obszar fundamentalny należy do σ-algebry zbiorów borelowskich.
2. Jeśli X jest rozmaitością topologiczną, to zazwyczaj obszarem fundamentalnym nazywa się podzbiór ${\displaystyle D\subset X,}$ który jest domknięciem zbioru otwartego, takim że dla ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ wnętrza podzbiorów ${\displaystyle \gamma D}$ nie mają parami punktów wspólnych i

${\displaystyle X=\bigcup \limits _{\gamma \in \Gamma }\gamma D}$^[2].

Obszar fundamentalny nie jest na ogół wyznaczony jednoznacznie. Jeśli obszar fundamentalny jest wielościanem, to mówimy o wielościanie fundamentalnym.

Obszarem fundamentalnym w sensie definicji 2. grupy przesunięć równoległych płaszczyzny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o wektory o współrzędnych całkowitych jest kwadrat:

${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\}.}$

Obszar fundamentalny tej grupy może przyjmować różne kształty (rysunek)^[3].

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская Энциклопедия, 1985.
• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.

• Fundamental domain (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].