Piotr Błaszczyk

Prowadzi badania naukowe w zakresie historii rozwoju pojęcia ciągłości. W starożytnej Grecji podstawowym modelem ciągłości był odcinek, scharakteryzowany przez Arystotelesa jako byt „podzielny na części, które są podzielne”^[9]. Tożsame rozumienie odcinka Błaszczyk dostrzegł w początkowych księgach Elementów Euklidesa^[9]. Zauważył, iż w V księdze Elementów, poświęconej teorii proporcji, zmienia się charakterystyka odcinka i jest on tam traktowany jako element szerszej struktury algebraicznej ${\displaystyle (M,+,<)}$^[9]. W kolejnych stuleciach struktura ta rozwijała się m.in. za sprawą arytmetyki odcinków przedstawionej w Geometrii Kartezjusza, czy aksjomatyki liczb rzeczywistych zaproponowanej w artykule Davida Hilberta O pojęciu liczby – doprowadzając ostatecznie do pojęcia ciała uporządkowanego^[9]. Od wieku XIX modelem ciągłości jest uporządkowane ciało liczb rzeczywistych ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<)}$^[9]. Błaszczyk wykazał także, że rozłam pomiędzy interpretacją ciągłości zbioru i ciągłości funkcji (obecny w matematyce do dziś) nastąpił po raz pierwszy w Geometrii Kartezjusza^[9].

Błaszczyk i Mrówka są autorami tłumaczenia i współczesnego komentarza do księgi V i VI Elementów Euklidesa^[2][10]. Projekt jest kontynuowany i planowane jest przetłumaczenie wraz z obszernym komentarzem wszystkich ksiąg Elementów^[10]. Tłumaczenie to rozdzielone będzie na trzy pozycje wydawnicze: tom pierwszy zawierający księgi od I do VI, tom drugi zawierający księgi od VII do X oraz tom trzeci zawierający księgi od XI do XIII^[10]. Przekład odbywa się na podstawie tekstu greckiego Johana Ludviga Heiberga Euclidis Elementa; Edidit et Latine interpretatus est (1883-1886)^[10]. Planowane jest także wydanie książki Geometria Euklidesa, która będzie napisana bardziej zaawansowanym językiem i będzie zawierała porównanie systemu Euklidesa z systemem Davida Hilberta, Alfreda Tarskiego, Karola Borsuka i Wandy Szmielew, historię aksjomatu o prostych równoległych, modele geometrii nieeuklidesowej i niearchimedesowej, interpretację geometrii Euklidesa związaną z automatycznym dowodzeniem twierdzeń oraz wpływ teorii zawartych w Elementach na matematykę nowożytną i współczesną^[10].

W ramach komentarzy do polskiego przekładu Elementów rekonstruowane będą struktury logiczne poszczególnych ksiąg, opisywane będzie znaczenie teorii przedstawionych w Elementach na matematykę starożytnej Grecji (m.in. Archimedes, Apoloniusz, Heron, Ptolemeusz), matematykę nowożytną (m.in. Kartezjusz, Leibniz, Newton, Euler) i matematykę współczesną^[10]. Wykazany zostanie także wpływ dzieła Euklidesa na współczesne treści geometryczne nauczane w szkołach^[10].

W książce Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda „Stetigkeit und irrationale Zahlen” Błaszczyk przeprowadził formalny dowód faktu, iż ciało liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}$ jest zupełne w sensie Cauchy’ego, ergo

${\displaystyle \forall _{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{*}}{\Big (}\forall _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\exists _{k}\forall _{n>k}\ {\big [}|a_{n}\ominus a_{k}|\prec \varepsilon {\big ]}\Longrightarrow \exists _{k}\forall _{n>k}\ [a_{n}=a_{k}]{\Big )}}$^[11]. W publikacji Calculus without the concept of limit wykazał, że w ciele liczb hiperrzeczywistych nie jest spełniony aksjomat Archimedesa^[12]. W ten sposób pokazał, iż istnieją w matematyce ciała uporządkowane, które są zupełne w sensie Cauchy’ego i jednocześnie niearchimedesowe^[11].

W ramach badań prowadzonych nad liczbami hiperrzeczywistymi, Błaszczyk opracował nową teorię nieskończoności – w aspekcie matematycznym, historycznym i filozoficznym^[13]. Przeanalizował aspekty liczb nieskończenie dużych i nieskończenie małych w teoriach Johna Conwaya dotyczących liczb nadrzeczywistych, a także przeprowadził analizę występowania liczb nieskończenie dużych i nieskończenie małych w pracach Eulera i Bolzano^[13]. Przedstawił teoriomnogościową wersję konstrukcji Conway’a oraz udowodnił, że liczby porządkowe Cantora zawarte są w ciele liczb nadrzeczywistych^[13].

Dokonana analiza historyczna wykazała, iż w matematyce greckiej obiekty skończone tworzyły grupę przemienną i archimedesową, z kolei Leonhard Euler, jako pierwszy w historii, systematycznie stosował strukturę niearchimedesową^[13]. Analogiczne rozwiązania Błaszczyk dostrzegł u Bolzano oraz Cantora^[13]. Wykazał także, że liczby porządkowe Cantora są zawarte w ciele uporządkowanym liczb nadrzeczywistych, w którym dodawanie i mnożenie jest przemienne – pomimo tego, iż w teorii Cantora dodawanie i mnożenie liczb porządkowych przemienne nie jest^[13]. Ponadto, w strukturze liczb nadrzeczywistych można zidentyfikować odpowiedniki ujemnych i ułamkowych liczb nieskończonych, takich jak ${\displaystyle -\omega ,}$ czy ${\displaystyle {\frac {\omega }{2}},}$ które w teorii Cantora nie istnieją^[13].