Pochodne Wirtingera

Pochodne Wirtingera, operatory Wirtingera^[1] – operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistych^[2]. Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.

Pomimo ich powszechnego zastosowania^[3], zdaje się, że brakuje pracy, która zawierałaby wszystkie własności pochodnych Wirtingera; jednakże krótki kurs wielowymiarowej analizy zespolonej autorstwa Andreottiego (1976)^[4] i monografia Kaupa (1984)^[5] zawierają dość kompletny wykład na ich temat; z tego powodu będą używane w tym artykule jako główne źródło odniesienia.

Pochodne Wirtingera wykorzystywano w analizie zespolonej, jak to zauważyli Cherry i Ye (2001, s. 31), co najmniej od czasów pracy Poincarégo (1899). Istotnie, w trzecim akapicie^[6] tej pracy Henri Poincaré definiuje najpierw zmienną zespoloną w ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ a następnie jej sprzężenie zespolone wzorem

${\displaystyle x_{k}+iy_{k}=z_{k}\qquad x_{k}-iy_{k}=u_{k},}$

gdzie wskaźnik ${\displaystyle k}$ ma w domyśle przebiegać od 1 do n. Następnie pisze on równanie definiujące funkcje, które nazywa on biharmonique^[7], wcześniej zapisane za pomocą pochodnych cząstkowych względem zmiennych rzeczywistych ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$ dla ${\displaystyle k}$ oraz ${\displaystyle q}$ przebiegających od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n}$ w dokładnie następujący sposób^[8]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}V}{\operatorname {d} z_{k}\operatorname {d} u_{q}}}=0.}$

Oznacza to, że przyjął on drugą (wielowymiarową) definicję przedstawioną niżej: aby się o tym przekonać, wystarczy porównać równania 2 oraz 2' w pracy Poincarégo (1899, 112). Jednakże pierwsze systematyczne wprowadzenie pochodnych Wirtingera pochodzi od Wilhelma Wirtingera (1926), które miało na celu uproszczenie obliczeń wielkości pojawiających się w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych: wynikiem wprowadzenia tych operatorów różniczkowych było znaczące uproszczenie postaci wszystkich operatorów różniczkowych, powszechnie stosowanych w teorii, jakimi są np. operator Leviego czy operator Cauchy’ego-Riemanna.

Dalej płaszczyzna zespolona ${\displaystyle \mathbb {C} }$ będzie utożsamiana z płaszczyzną euklidesową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

W przypadku wielowymiarowym symbol ${\displaystyle C^{n}}$ będzie oznaczać przestrzeń euklidesową nad ciałem liczb zespolonych i będzie wykorzystywane następujące utożsamienie:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\simeq \mathbb {R} ^{2n}={\big \{}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})\colon \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}{\big \}}.}$

Wówczas ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$ będzie traktowany jako wektor zespolony ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {y} }$ są wektorami rzeczywistymi, przy czym ${\displaystyle n\geqslant 1;}$ ponadto podzbiór ${\displaystyle \Omega }$ będzie postrzegany jako obszar rzeczywistej przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ lub też jej zespolonej odpowiedniczki z nią izomorficznej, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Pochodne Wirtingera definiuje się jako następujące liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

W przypadku wielowymiarowym pochodne Wirtingera przyjmuje się, że są to następujące macierzowe liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\end{cases}}\quad ,\quad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1}}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{n}}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\end{cases}}.}$

Naturalną dziedziną definicji tych operatorów różniczkowych cząstkowych jest przestrzeń ${\displaystyle \operatorname {C} ^{1}}$ funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły określonych na obszarze ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2n}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1,}$ jednakże ponieważ operatory te są liniowe i mają stałe współczynniki, to mogą być łatwo rozszerzone na każdą przestrzeń funkcji uogólnionych.

Dowody poniższych własności wynikają wprost z przyjętych definicji.

Liniowość

Jeżeli ${\displaystyle f,g\in \operatorname {C} ^{1}(\Omega ),}$ zaś ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,}$ to dla wszystkich ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ zachodzi następująca równość

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{i}}}}}(\alpha f+\beta g)=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\overline {z_{i}}}}}.}$

Reguła Leibniza

Jeżeli ${\displaystyle f,g\in \operatorname {C} ^{1}(\Omega ),}$ to dla wszystkich ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ zachodzi reguła Leibniza:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{i}}}}}(f\cdot g)={\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{1}}}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\overline {z_{i}}}}}.}$

• równania Cauchy’ego-Riemanna

• Aldo Andreotti: Introduzione all’analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972). T. 24. Rzym: Accademia Nazionale dei Lincei, 1976, s. 34, seria: Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni. (wł.).
• GaetanoG. Fichera GaetanoG., Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables, „Memorie della [[Accademia Nazionale dei Lincei]], Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali”, 3, 18, 1986 (8), s. 61–83, Zbl 0705.32006 . typ?
• Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis Volume 3. Wyd. przedr. Nowy Jork – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapur: John Wiley & Sons, 1993, s. X+637, seria: Wiley Classics Library. Zbl 1107.30300. ISBN 0-471-58986-1.
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Wyd. III (popr.). T. 7. Amsterdam – Londyn – Nowy Jork – Tokio: North-Holland, 1990, seria: North–Holland Mathematical Library. Zbl 0685.32001. ISBN 0-444-88446-7.
• Ludger Kaup, Burchard Kaup: Holomorphic functions of several variables. T. 3. Berlin – Nowy Jork: Walter de Gruyter, 1983, s. XV+349, seria: de Gruyter Studies in Mathematics. Zbl 0528.32001. ISBN 978-3-11-004150-7.
• Enzo Martinelli: Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali. T. 67. Rzym: Accademia Nazionale dei Lincei, 1984, s. 236+II, seria: Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni. (wł.).
• Francesco Severi: Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956-57 all’Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma. Padwa: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, 1958. Zbl 0094.28002. (wł.).; notatki z wykładu Francesca Severiego w Istituto Nazionale di Alta Matematica w Rzymie (dziś jego imienia) z przypisami dodatkami Enza Martinelliego, Giovanniego Battisty Rizzy oraz Maria Benedicty’ego.

• W. Cherry, Z. Ye: Nevanlinna’s theory of value distribution: the second main theorem and its error terms. Berlin: Springer Verlag, 2001, s. XII+202, seria: Springer Monographs in Mathematics. Zbl 0981.30001. ISBN 978-3-540-66416-1.
• Ernst Peschl. Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammenhängender Gebiete auf das Innere eines Kreises. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von E. Study.. „Mathematische Annalen”. 106, s. 574–594, 1932. DOI: 10.1007/BF01455902. JFM 58.1096.05, Zbl 0004.30001. (niem.). 
• H. Poincaré. Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes. „Acta Mathematica”. 22 (1), s. 89–178, 1899. DOI: 10.1007/BF02417872. JFM 29.0370.02. (fr.). 
• D. Pompeiu. Sur une classe de fonctions d’une variable complexe. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 33 (1), s. 108–113, 1912. DOI: 10.1007/BF03015292. JFM 43.0481.01. (fr.). 
• D. Pompeiu. Sur une classe de fonctions d’une variable complexe et sur certaines équations intégrales. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 35 (1), s. 277–281, 1913. DOI: 10.1007/BF03015607. (fr.). 
• Wilhelm Wirtinger. Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen. „Mathematische Annalen”. 97, s. 357–375, 1926. DOI: 10.1007/BF01447872. JFM 52.0342.03. (niem.).