Poliomino

Poliomino – figura geometryczna złożona ze skończonej liczby kwadratów połączonych bokami.

Liczba kwadratów tworzących poliomino jest oznaczana przez n. W zależności od wartości n wyróżnia się różne rodzaje poliomin:

Wyróżnia się trzy podstawowe rodzaje poliomin^[1]:

• Wolne poliomina – można je przesuwać, obracać i odbijać. Dwie figury są uznawane za takie same, jeśli jedną można otrzymać z drugiej za pomocą tych przekształceń.
• Jednostronne poliomina – można je przesuwać i obracać, ale nie odbijać. Figura i jej odbicie lustrzane mogą więc być różnymi poliominami.
• Stałe poliomina – można je jedynie przesuwać. Obrót lub odbicie figury daje inne poliomino.

Liczba poliomin zależy od przyjętego sposobu klasyfikacji. Najmniej jest poliomin wolnych, więcej jednostronnych, a najwięcej stałych.

Najmniejszym poliominem jest monomino, złożone z jednego kwadratu. Dla n = 2 otrzymuje się domino, a dla n = 3 dwa tromina: proste i w kształcie litery L.

Dla n = 4 istnieje pięć wolnych tetromin, znanych między innymi z gry Tetris. Dla n = 5 istnieje dwanaście wolnych pentomin. Dla n = 6 istnieje 35 wolnych heksomin.

Dla n = 7 pojawia się pierwsze poliomino zawierające dziurę. Spośród 108 wolnych heptomino 107 nie ma dziur, a jedno je posiada^[1].

Poliomino może zawierać wewnętrzny obszar niezajęty przez żaden kwadrat, nazywany dziurą. Pierwsze poliomino z dziurą pojawia się dla n = 7. W niektórych zastosowaniach rozpatruje się wyłącznie poliomina bez dziur.

Zliczanie poliomin o określonym rozmiarze jest problemem kombinatorycznym. Nie jest znany prosty wzór pozwalający obliczyć liczbę poliomin dla dowolnego n. Liczba możliwych figur rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem n, dlatego dla większych wartości stosuje się algorytmy komputerowe^[2].

Jednym z najważniejszych zastosowań poliomin w matematyce rekreacyjnej są zadania polegające na pokrywaniu określonych obszarów za pomocą poliomin. Przykładem jest ułożenie prostokąta o wymiarach 6 × 10 za pomocą wszystkich dwunastu pentomin. Istnieje 2339 takich ułożeń^[1].

Poliomina wykorzystywane są również w grach i łamigłówkach. Gra Tetris wykorzystuje siedem jednostronnych tetromin, natomiast gra planszowa Blokus wykorzystuje wszystkie wolne poliomina o rozmiarze od 1 do 5.