Postulat Bertranda

Postulat Bertranda (twierdzenie Czebyszewa, twierdzenie Bertranda-Czebyszewa) – twierdzenie z zakresu matematycznej teorii liczb. Jego treść (pierwotnie w charakterze ledwie hipotezy) została sformułowana przez francuskiego matematyka Josepha Bertranda. Prawdziwość tego zdania została dowiedziona dopiero w późniejszym czasie, przez rosyjskiego matematyka Pafnutija Czebyszewa.

Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n\in N}$ większej lub równej ${\displaystyle 1}$, istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od ${\displaystyle n}$ i zarazem mniejsza lub równa ${\displaystyle 2n}$.

${\displaystyle {\big (}\forall _{n\geqslant 1}{\big )}{\big (}\pi (2n)>\pi (n){\big )}}$

lub

${\displaystyle (\forall _{n\geqslant 1})(\exists _{p\in \mathbb {P} })(2n\geqslant p>n)}$

Udowodniono również, że:

${\displaystyle {\big (}\forall _{n>5}{\big )}{\big (}\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 2{\big )}}$

${\displaystyle {\big (}\forall _{n>8}{\big )}{\big (}\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 3{\big )}}$

${\displaystyle {\big (}\forall _{n>14}{\big )}{\big (}\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 4{\big )}}$

${\displaystyle {\big (}\forall _{n>20}{\big )}{\big (}\pi (2n)-\pi (n)\geqslant 5{\big )}}$

Fakt. Dla dowolnej liczby, zapisanej po prawej stronie w analogicznej do każdej z przedstawionych powyżej nierówności (tzn. dla dowolnej liczby ${\displaystyle a}$, dla nierówności postaci: ${\displaystyle \pi (2n)-\pi (n)\geqslant a}$), istnieje „odpowiednia wartość” ${\displaystyle b}$, którą można wpisać – w każdym takim przypadku poszczególnie – pod kwantyfikatorem (j.w.), w nierówności: ${\displaystyle n>b}$.

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli ${\displaystyle n>3}$ jest liczbą całkowitą (naturalną), to istnieje liczba pierwsza ${\displaystyle p}$, taka że zachodzi ciąg nierówności: ${\displaystyle n<p<2n-2}$^[1]. To właśnie stwierdzenie (stanowiące hipotezę) jest – w istocie – słabszą wersją omówionego wcześniej powyżej innego stwierdzenia, tego najczęściej nazywanego właśnie nazwą „postulat Bertranda” (por. powyżej – Twierdzenie).

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału ${\displaystyle [2,3\cdot 10^{6}]}$. W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł rosyjski matematyk Pafnutij Czebyszew.

• Hipoteza Goldbacha
• Hipoteza Riemanna
• Funkcja π
• Liczby pierwsze Ramanujana

• Chebyshev theorems on prime numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].