Proces Bernoulliego

Proces Bernoulliego (schemat Bernoulliego) – proces stochastyczny składający się z ciągu niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ takich że^[1]:

• zmienne losowe przyjmują jedną z dwóch możliwych wartości ${\displaystyle a}$ lub ${\displaystyle b}$ (np. ${\displaystyle a=0,b=1}$ )
• prawdopodobieństwo uzyskania wartości ${\displaystyle a}$ jest takie samo dla wszystkich zmiennych losowych i wynosi ${\displaystyle p}$ (i w konsekwencji prawdopodobieństwo uzyskania wartości ${\displaystyle b}$ jest takie samo dla wszystkich zmiennych losowych i wynosi ${\displaystyle q=1-p}$).

Tak zdefiniowany proces jest procesem stacjonarnym i ergodycznym.

Zmienne losowe ${\displaystyle X_{i}}$ o powyżej określonych własnościach nazywa się próbami Bernoulliego.

Rzucamy ${\displaystyle N=50}$ razy monetą. W każdym rzucie mamy identyczne prawdopodobieństwa: prawdopodobieństwo ${\displaystyle p}$, że wypadnie orzeł oraz prawdopodobieństwo ${\displaystyle q=1-p}$, że wypadnie reszka. Przy czym, jeżeli moneta jest symetryczna, to ${\displaystyle p=q=0,5.}$

Proces Bernoulliego jest ściśle związany z następującymi rozkładami prawdopodobieństwa:

• rozkład dwumianowy (rozkład uzyskania ${\displaystyle k}$ sukcesów w ustalonej liczbie ${\displaystyle n}$ prób Bernoulliego),
• rozkład geometryczny (rozkład uzyskania pierwszego sukcesu po ${\displaystyle k}$ próbach),
• ujemny rozkład dwumianowy (rozkład uzyskania ${\displaystyle r}$-tego sukcesu po ${\displaystyle k}$ próbach).

Uogólnionym schematem Bernoulliego nazywa się uogólnienie schematu Bernoulliego, które zakłada, że zmienne losowe ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ mogą przyjmować ${\displaystyle N}$ możliwych wartości ${\displaystyle n_{1},}$ ${\displaystyle n_{2},n_{3},\dots ,}$ ${\displaystyle n_{N}}$ z prawdopodobieństwami odpowiednio ${\displaystyle p_{1},}$ ${\displaystyle p_{2},p_{3},\dots ,}$ ${\displaystyle p_{N}}$, przy czym

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}p_{j}=1.}$

W Annals of Mathemathics nr (3) 2014 ukazała się praca Witolda Bednorza i Rafała Latały On the boundedness of Bernoulli processes, gdzie autorzy udowodnili tzw. hipotezę Bernoulliego, sformułowaną ok. 25 lat temu przez Michela Talagranda i mówiącą, że istnieją zasadniczo tylko dwa sposoby szacowania supremum procesu Bernoulliego. Jeden sposób polega na ograniczeniu jednostajnym i brutalnym dostawieniu modułów, drugi zaś na szacowaniu przez supremum dominującego procesu gaussowskiego. Za dowód hipotezy autorzy odebrali nagrodę w wys. 5000 USD, ufundowaną przez Talagranda, który na swojej stronie pisze "Their proof is simply stunningly beautiful"^[2].

• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 59-61 oraz 307-308.