Proces Poissona

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa ${\displaystyle (N_{t},\;t\geqslant 0)}$ zdefiniowana w następujący sposób:

${\displaystyle N_{t}={\begin{cases}0,&X_{1}>t\\\sup\{n:X_{1}+\dots +X_{n}\leqslant t\},&X_{1}\leqslant t\end{cases}}}$

gdzie ciąg ${\displaystyle (X_{i})_{i=1,2,3...}}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych ${\displaystyle X_{i}}$, parametrem oznaczanym ${\displaystyle \lambda _{I}.}$

Uwaga. Parametr ${\displaystyle \lambda _{I}}$ nazywa się intensywnością procesu Poissona. Parametr ten określa on średnia liczbę zdarzeń losowych w jednostce czasu.

Zmienna losowa ${\displaystyle X_{i}}$ oznacza czas pomiędzy ${\displaystyle (i-1)}$-szym a ${\displaystyle i}$-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), zaś ${\displaystyle N_{t}}$ to liczba zgłoszeń, które wystąpiły aż do chwili ${\displaystyle t}$.

Definicja 1. Dany proces stochastyczny nazywamy procesem Poissona o intensywności ${\displaystyle \lambda _{I}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są następujące warunki^[1]:

1. ${\displaystyle N_{0}=0}$, tj.: w chwili początkowej proces ma wartość zero;
2. Proces ma przyrosty niezależne ${\displaystyle N_{t}}$ dla ${\displaystyle t\geqslant 0}$;
3. Realizacje procesu są niemalejącymi, prawostronnie ciągłymi funkcjami schodkowymi o skokach równych jeden;
4. Dla dowolnego ${\displaystyle a\geqslant 0}$ oraz ${\displaystyle t>0}$ przyrost ${\displaystyle N_{a+t}-N_{a}}$ ma rozkład Poissona o parametrze ${\displaystyle \lambda _{I}t}$, tj.:

   ${\displaystyle P(N_{a+t}-N_{a}=k)={\frac {(\lambda _{I}t)^{k}}{k!}}e^{-\lambda _{I}t},}$

   ${\displaystyle {\text{dla }}\,k=0,1,2,\dots }$

Definicja 2. Dany proces stochastyczny nazywamy procesem Poissona o natężeniu ${\displaystyle \lambda _{I}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są następujące warunki:

1. ${\displaystyle N_{0}=0}$;
2. ${\displaystyle (N_{t},\;t\geqslant 0)}$ ma niezależne i stacjonarne przyrosty;
3. ${\displaystyle P(N_{h}=1)=\lambda _{I}h+o(h)}$;
4. ${\displaystyle P(N_{h}\geqslant 2)=o(h)}$.

Uwaga. Niezależność przyrostów oznacza, że liczby zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Tak więc, proces ten nie ma pamięci, tzn. wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w kolejnej chwili procesu.

Klasycznym zastosowaniem procesu Poissona jest modelowanie obciążenia central telefonicznych^[2].

Załóżmy na przykład, że centrala obsługuje średnio 100 rozmów na godzinę. Parametr intensywności wynosi ${\displaystyle \lambda _{I}=100}$. Dla czasu ${\displaystyle t=0{,}5}$ godziny oczekiwana liczba zdarzeń wynosi ${\displaystyle \lambda =\lambda _{I}\cdot t=50}$.

a) Prawdopodobieństwo, że w ciągu pół godziny zostanie nawiązanych co najmniej 76 połączeń, wynosi:

${\displaystyle \mathbb {P} (X(t)>75)=\sum _{k=76}^{\infty }e^{-50}{\frac {50^{k}}{k!}}=1-e^{-50}\sum _{k=0}^{75}{\frac {50^{k}}{k!}}=0{,}000372}$

Wartość tej sumy można wyznaczyć np. za pomocą krótkiego programu w języku Python wykorzystującego funkcję poisson.cdf, służącą do obliczania dystrybuanty rozkładu Poissona.

from scipy.stats import poisson
print(1 - poisson.cdf(75, 50))

b) Prawdopodobieństwo, że zostanie nawiązanych więcej niż 50 połączeń, można wyznaczyć analogicznie:

${\displaystyle \mathbb {P} (X(t)>50)=\sum _{k=51}^{\infty }e^{-50}{\frac {50^{k}}{k!}}=1-e^{-50}\sum _{k=0}^{50}{\frac {50^{k}}{k!}}=0{,}462.}$

(1) Niech ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}$ Wtedy ${\displaystyle S_{n}}$ ma rozkład Erlanga z parametrami ${\displaystyle k=n,\ \theta =1/{\lambda _{I}}.}$

(2) Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

• teoria prawdopodobieństwa

• Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993.
• Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.