Radykał Jacobsona

Radykał Jacobsona – ideał obustronny ${\displaystyle J(R)}$ pierścienia ${\displaystyle R}$ będący zbiorem takich elementów ${\displaystyle r}$ pierścienia, że dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ z pierścienia ${\displaystyle R}$ istnieje element ${\displaystyle y}$ taki, że spełniona jest równość

${\displaystyle xr+y+xry=rx+y+yrx=0.}$

Jeśli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z jedynką, to powyższy warunek redukuje się do następującego:

${\displaystyle (1+xr)(1+y)=1=(1+y)(1+rx).}$

W tym wypadku ${\displaystyle J(R)}$ jest przekrojem wszystkich ideałów maksymalnych^[1] lewostronnnych (prawostronnych) i jest różny od całego pierścienia ${\displaystyle R.}$ Definicja tego ideału została wprowadzona w 1945 roku przez Nathana Jacobsona^[2].

• C. Faith, Algebra II. Ring Theory, Springer-Verlag, 1976.

• Jacobson radical (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].