Statystyka Fermiego-Diraca

Statystyka Fermiego-Diraca – statystyka dotycząca fermionów – cząstek o spinie połówkowym, które obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z zakazem Pauliego w danym stanie kwantowym nie może znajdować się więcej niż jeden fermion. Statystyka Fermiego-Diraca oparta jest również na założeniu nierozróżnialności cząstek^[1].

Jego nazwa rozkładu pochodzi nazwisk fizyków Enrica Fermiego-Paula Diraca, którzy niezależnie od siebie wyprowadzili tę zależność w 1926 roku^[2][3].

Zgodnie z rozkładem Fermiego-Diraca średnia liczba cząstek w niezdegenerowanym stanie energetycznym ${\displaystyle E}$ dana jest przez

${\displaystyle \langle n\rangle ={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta (E-\mu )}+1}},}$

gdzie:

${\displaystyle E}$ – energia tego stanu,

${\displaystyle \mu }$ – potencjał chemiczny,

${\displaystyle \beta =1/(k_{\mathrm {B} }T),}$

${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ – stała Boltzmanna,

${\displaystyle T}$ – temperatura bezwzględna (w skali Kelvina).

Rozkład Fermiego-Diraca opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym (np. gaz elektronów w metalach i półprzewodnikach).

Zgodnie z zakazem Pauliego, w każdym stanie kwantowym może się znajdować co najwyżej jeden elektron, a każdy poziom energetyczny może być obsadzony przez co najwyżej dwa elektrony o przeciwnych spinach.

W temperaturze większej od zera bezwzględnego prawdopodobieństwo ${\displaystyle P}$ obsadzenia ${\displaystyle k}$-tego stanu, o energii ${\displaystyle E_{k},}$ jest tym mniejsze, im większa jest ta energia. Przy zmniejszaniu ${\displaystyle E_{k}}$ prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie ${\displaystyle k}$ wzrasta, jednak nie przekracza jedności.

Zależność tę wyraża funkcja rozkładu Fermiego-Diraca:

${\displaystyle P(E_{k})={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta (E_{k}-\mu )}+1}}.}$

W temperaturze zera bezwzględnego wprowadza się oznaczenie ${\displaystyle \mu =\mu (0)=E_{\mathrm {F} },}$ jest to energia najwyżej obsadzonego stanu (${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$ – poziom Fermiego) w temperaturze zera bezwzględnego. W tej temperaturze obsadzone są wszystkie stany o energii mniejszej lub równej energii Fermiego ${\displaystyle (E_{\mathrm {F} }),}$ a wyższe stany nie są obsadzone.

Dla każdej temperatury ${\displaystyle T}$ zachodzi ${\displaystyle P(E_{k})=0{,}5,}$ gdy ${\displaystyle E_{k}=\mu .}$

Dla takich energii, że ${\displaystyle E_{k}-\mu \gg k_{\mathrm {B} }T}$ rozkład przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmanna:

${\displaystyle P(E_{k})\approx {\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta (E_{k}-\mu )}}}=\mathrm {e} ^{-\beta (E_{k}-\mu )}.}$

• gaz Fermiego
• statystyka Bosego-Einsteina
• statystyka Maxwella-Boltzmanna