Suma statystyczna

Suma statystyczna – pojęcie pomocnicze w mechanice statystycznej, pozwala obliczyć równowagowe funkcje stanu. Oznaczana jako ${\displaystyle Z,}$ wyraża się wzorem^[1]:

${\displaystyle Z=\sum _{\sigma }\exp(-\beta E_{\sigma })=\sum _{\sigma }\exp \left(-{\frac {E_{\sigma }}{k_{B}T}}\right).}$

gdzie:

${\displaystyle \Sigma _{\sigma }}$ – suma po stanach mikroskopowych,

${\displaystyle \sigma }$ – indeks stanu mikroskopowego,

${\displaystyle E_{\sigma }}$ – jego energia,

${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T),}$

${\displaystyle k_{B}}$ – stała Boltzmanna,

${\displaystyle T}$ – temperatura w skali Kelvina.

Przykładowo energia swobodna wyraża się jako:

${\displaystyle F=-k_{B}T\ln(Z).}$

W mechanice kwantowej analogiem sumy statystycznej jest ślad macierzy operatora gęstości stanów, czyli:

${\displaystyle Z={\rm {{Tr}(e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})})}}}$

występuje on w definicji wartości średniej z obserwabli:

${\displaystyle \langle A\rangle ={\rm {{Tr}({\hat {\rho }}{\hat {A}}),}}}$

gdzie:

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},}$

${\displaystyle {\hat {H}}}$ – hamiltonian układu fizycznego,

${\displaystyle \mu }$ – potencjał chemiczny,

${\displaystyle {\hat {N}}}$ – operator liczby cząstek (jeżeli w układzie jest zachowana liczba cząstek).

• F. Rief, Fizyka statystyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973
• A. K. Wróblewski, J. A. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, tom 1, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, str. 478-536