Twierdzenie Brahmagupty

Twierdzenie Brahmagupty – twierdzenie w geometrii, które stwierdza, że jeżeli czworokąt cykliczny ma prostopadłe przekątne, to prostopadła do boku z punktu przecięcia przekątnych zawsze dzieli przeciwległy bok na dwie równe części^[1].

Twierdzenie to zostało nazwane na cześć indyjskiego matematyka Brahmagupty^[2].

Dokładniej, niech ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle D}$ będą czterema punktami na okręgu, takim że linie ${\displaystyle |AC|}$ i ${\displaystyle |BD|}$ są prostopadłe. Przecięcie przekątnych ${\displaystyle |AC|}$ i ${\displaystyle |BD|}$ oznaczmy przez ${\displaystyle M}$. Zrzućmy prostopadłą z ${\displaystyle M}$ na linię ${\displaystyle |BC|}$, a punkt przecięcia oznaczmy przez ${\displaystyle E}$. Niech ${\displaystyle F}$ będzie punktem przecięcia linii ${\displaystyle |EM|}$ z krawędzią ${\displaystyle |AD|}$. Twierdzenie mówi, że punkt ${\displaystyle F}$ jest środkiem odcinka ${\displaystyle |AD|}$.

Musimy udowodnić, że ${\displaystyle |AF|=|FD|}$. Pokażemy, że zarówno ${\displaystyle |AF|}$, jak i ${\displaystyle |FD|}$ są równe ${\displaystyle |FM|}$.
Zauważmy, że kąty ${\displaystyle \angle FAM}$ i ${\displaystyle \angle CBM}$ są równe, ponieważ są to kąty wpisane, które opierają się na tym samym łuku okręgu ${\displaystyle {\overset {\frown }{CD}}}$.
Ponadto kąty ${\displaystyle \angle CBM}$ i ${\displaystyle \angle CME}$ są kątami komplementarnymi względem kąta ${\displaystyle \angle BCM}$ (czyli suma tych kątów wynosi ${\displaystyle 90^{\circ }}$), więc są sobie równe.
Także kąty ${\displaystyle \angle CME}$ i ${\displaystyle \angle FMA}$ są takie same. W związku z tym trójkąt ${\displaystyle \triangle AFM}$ jest trójkątem równoramiennym, a więc boki ${\displaystyle |AF|}$ i ${\displaystyle |FM|}$ są sobie równe.
Dowód, że ${\displaystyle |FD|=|FM|}$ przebiega w podobny sposób: kąty ${\displaystyle \angle FDM}$, ${\displaystyle \angle BCM}$, ${\displaystyle \angle BME}$ i ${\displaystyle \angle DMF}$ są sobie równe, więc trójkąt ${\displaystyle \triangle DFM}$ jest trójkątem równoramiennym, a więc ${\displaystyle |FD|=|FM|}$.
Stąd wynika, że ${\displaystyle |AF|=|FD|}$, q.e.d.

• wzór Brahmagupty