Twierdzenie Pitota

Twierdzenie Pitota – twierdzenie w geometrii euklidesowej dotyczące czworokątów, w których można wpisać okrąg. Mówi ono, że w takim czworokącie suma długości przeciwległych boków jest równa. Twierdzenie to stanowi warunek konieczny i wystarczający istnienia okręgu wpisanego w czworokąt^[1].

Jeśli w czworokącie ${\displaystyle ABCD}$ można wpisać okrąg, to zachodzi zależność ${\displaystyle |AB|+|CD|=|BC|+|DA|}$.

Rozważmy czworokąt ${\displaystyle ABCD}$, w którym istnieje okrąg wpisany. Niech okrąg ten styka się z bokami ${\displaystyle AB,BC,CD,DA}$ odpowiednio w punktach ${\displaystyle E,F,G,H}$.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu wynika, że odcinki wychodzące z jednego punktu do punktów styczności są równe, czyli: ${\displaystyle |AE|=|AH|}$, ${\displaystyle |BE|=|BF|}$, ${\displaystyle |CF|=|CG|}$, ${\displaystyle |DG|=|DH|}$.

Zapiszmy długości boków jako sumy odpowiednich odcinków: ${\displaystyle |AB|=|AE|+|BE|}$, ${\displaystyle |BC|=|BF|+|CF|}$, ${\displaystyle |CD|=|CG|+|DG|}$, ${\displaystyle |DA|=|DH|+|AH|}$.

Dodając naprzemiennie boki, otrzymujemy: ${\displaystyle |AB|+|CD|=(|AE|+|BE|)+(|CG|+|DG|)}$,${\displaystyle |BC|+|DA|=(|BF|+|CF|)+(|DH|+|AH|)}$.

Korzystając z równości odcinków stycznych: ${\displaystyle |AE|=|AH|,\quad |BE|=|BF|,\quad |CF|=|CG|,\quad |DG|=|DH|}$,

otrzymujemy: ${\displaystyle |AB|+|CD|=|BC|+|DA|}$, q.e.d.