Twierdzenie odwrotne

Poprawne twierdzenia, których twierdzenia odwrotne też są prawdziwe:

• jeśli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych wynosi zero, to co najmniej jedna z tych liczb też wynosi zero^[7]:

${\displaystyle (ab=0)\Rightarrow (a=0\vee b=0).}$

Poprawne twierdzenia, których odwrotności są fałszywe:

• jeśli dwie liczby są parzyste, to ich suma też jest parzysta^[a]:

${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} \Rightarrow 2a+2b=2(a+b).}$

Kontrprzykłady do twierdzenia odwrotnego to pary liczb nieparzystych – one też mają parzyste sumy:

${\displaystyle 1+1=2,\ 3+3=6,\ ...}$

• jeśli liczba jest podzielna przez dziesięć, to jest podzielna przez pięć^[8]:

${\displaystyle 10|a\Rightarrow 5|a.}$

Kontrprzykłady do twierdzenia odwrotnego: 5, 15, 25, ... Te liczby są podzielne przez pięć, ale nie przez dziesięć.

• jeśli wszystkie wszystkie współczynniki równania kwadratowego są nieujemne ${\displaystyle (a,\ b,\ c\geqslant 0)}$ lub niedodatnie ${\displaystyle (a,\ b,\ c\leqslant 0),}$ to równanie nie ma rozwiązań dodatnich ${\displaystyle (x\notin \mathbb {R} _{+})}$^[9]. Przykład innego równania kwadratowego, które też nie ma rozwiązań dodatnich^[9]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-2x+2&=0,\\(x-1)^{2}+1&=0,\\(x-1)^{2}&=-1,\\x&\notin \mathbb {R} .\end{aligned}}}$

Poprawne twierdzenia, których twierdzenia odwrotne też są prawdziwe:

• twierdzenie Pitagorasa w geometrii płaskiej (planimetrii):

jeśli trójkąt jest prostokątny, to długości jego boków spełniają równanie Pitagorasa^[10][11];

• twierdzenie Talesa w tym samym dziale matematyki^[12];
• twierdzenie Cevy tamże, czasem definiowane jako równoważność, a nie jako implikacja^[13][14];
• twierdzenie Menelaosa – też czasem definiowane jako równoważość^[15][16];
• twierdzenie o linii środkowej w dowolnym trójkącie:

jeśli odcinek łączy środki boków, to jest równoległy do podstawy trójkąta i równy jej połowie^[17];

• jeśli czworokąt ma dwie pary równoległych boków, to jego przekątne dzielą się na połowy^[18];
• twierdzenie Ptolemeusza^[19];
• jeśli ostrosłup jest prosty, to jego krawędzie boczne są równej długości^[20];
• jeśli ostrosłup jest prosty, to jego krawędzie boczne są pod jednakowym kątem do podstawy^[20].

Twierdzenia, których odwrotności są fałszywe:

• jeśli czworokąt ma wszystkie kąty równe^[b], to jego przekątne są równe^[21]. Na obrazku pokazano trapez równoramienny przeczący twierdzeniu odwrotnemu^[22];
• jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to jego przekątne są prostopadłe^[23]. Implikacji odwrotnej przeczy dowolny deltoid z parą różnych boków^[24];
• jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to tworzą one dwie pary równoległe^[c][23]. Dowolny równoległobok o różnych bokach dowodzi fałszu twierdzenia odwrotnego^[25].

Poprawne twierdzenia z prawdziwym twierdzeniem odwrotnym:

• twierdzenie Gaussa-Lucasa w analizie zespolonej^[26].

Prawdziwe twierdzenia, których twierdzenia odwrotne są fałszywe:

• jeśli działanie dwuargumentowe jest łączne, to każdy element ma względem tego działania co najwyżej jeden element odwrotny^[27]. Dla twierdzenia odwrotnego kontrprzykładem są oktoniony – w zbiorze tych niezerowych jest jednoznaczne dzielenie, ale mnożenie nie jest łączne^[28];
• jeśli nieskończony ciąg niezerowych liczb rzeczywistych ma granicę niewłaściwą ${\displaystyle (\pm \infty ),}$ to ciąg wyrazów odwrotnych dąży do zera^[29]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall n\in \mathbb {N} _{+}:a_{n}\in \mathbb {R} _{\neq 0};\\&\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \{\pm \infty \}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{a_{n}}}=0;\end{aligned}}}$

• warunek konieczny zbieżności szeregu liczb rzeczywistych: jeśli szereg jest zbieżny, to jego wyrazy (składniki) dążą do zera^[30].

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\in \mathbb {R} \Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=0;}$

• twierdzenie Darboux: każda funkcja ciągła ma własność Darboux. Funkcje o tej własności mogą być nieciągłe^[31];
• jeśli funkcja rzeczywista ma w jakimś punkcie pochodną – czyli jest w nim różniczkowalna – to jest w tym punkcie ciągła^[32];
• twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – jest to warunek konieczny na to, żeby punkt różniczkowalności był ekstremum funkcji, ale nie jest to warunek wystarczający (gwarancja)^[33].