Wahanie funkcji

Wahaniem funkcji ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ nazywamy wielkość^[1]:

${\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\sup \sum _{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.}$

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach ${\displaystyle P=\{a=x_{0}<\dots <x_{n}=b\}}$ przedziału ${\displaystyle [a,b].}$ Jeśli funkcja ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ma skończone wahanie, to mówimy, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

Jeśli funkcja ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ jest monotoniczna, to ${\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\vert f(b)-f(a)\vert .}$

Jeśli ${\displaystyle f}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ wszystkich liczb wymiernych z przedziału ${\displaystyle [0,1],}$ to ${\displaystyle V_{0}^{1}(f)=\infty .}$

Niech ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ będzie dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x\sin(\pi /x)}$ dla ${\displaystyle x\in (0,1]}$ i ${\displaystyle f(0)=0.}$ Wówczas ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(\pi /x)}$ dla ${\displaystyle x\in (0,1]}$ i ${\displaystyle f(0)=0}$ ma wahanie skończone.