Wymiar Minkowskiego

Wymiar Minkowskiego, szerzej znany jako wymiar pudełkowy (ang. box-counting dimension) lub wymiar Minkowskiego-Bouliganda – jeden z podstawowych sposobów definiowania wymiaru fraktalnego dla zbiorów ograniczonych w przestrzeni metrycznej, najczęściej w euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}$ ^[1]. Nazwa upamiętnia niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego oraz francuskiego matematyka Georgesa Bouliganda, który opisał tę koncepcję w latach 20. XX wieku^[2].

W przeciwieństwie do wymiaru Hausdorffa, wymiar pudełkowy opiera się na idei systematycznego zliczania elementów siatki (pudełek), co czyni go znacznie łatwiejszym do wyznaczenia za pomocą metod numerycznych i algorytmów komputerowych^[3].

Intuicja

Podstawową ideą wymiaru pudełkowego jest sprawdzenie, jak szybko rośnie liczba elementów potrzebnych do pokrycia zbioru wraz ze zmniejszaniem ich rozmiaru (skalowaniem)^[1]. Wyobraźmy sobie nałożenie na zbiór siatki o boku $\varepsilon .$ Liczba „pudełek” $N(\varepsilon ),$ które zawierają fragment zbioru, rośnie wraz ze zmniejszaniem $\varepsilon$ ^[4]:

Dla odcinka (wymiar 1): zmniejszenie $\varepsilon$ dwukrotnie powoduje 2-krotny wzrost liczby pudełek $(2^{1})$ ^[4].
Dla kwadratu (wymiar 2): zmniejszenie $\varepsilon$ dwukrotnie powoduje 4-krotny wzrost liczby pudełek $(2^{2})$ ^[4].
Dla fraktali: liczba pudełek rośnie według wykładnika, który nie musi być liczbą całkowitą, co pozwala na numeryczne określenie stopnia skomplikowania struktury^[1].

Definicja formalna

Niech $S$ będzie zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{n}.$ Niech $N(\varepsilon )$ oznacza minimalną liczbę zbiorów o średnicy co najwyżej $\varepsilon ,$ które są potrzebne do pokrycia zbioru $S$ ^[1]. Wymiar pudełkowy definiuje się jako granicę:

\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}

Górny i dolny wymiar pudełkowy

Jeżeli powyższa granica nie istnieje, stosuje się pojęcia granicy górnej i dolnej, co prowadzi do definicji dwóch parametrów pomocniczych^[5]:

Górny wymiar pudełkowy (często nazywany pojemnością Kołmogorowa lub wymiarem entropijnym^[3]):

{\overline {\dim }}_{\text{box}}(S)=\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}

Dolny wymiar pudełkowy:

{\underline {\dim }}_{\text{box}}(S)=\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}

Wymiar pudełkowy istnieje tylko wtedy, gdy obie te wartości są sobie równe^[5].

Metody wyznaczania $N(\varepsilon )$

Istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania liczby $N(\varepsilon ),$ które w granicy dają ten sam wynik wymiaru^[6]:

Siatka (ang. grid-counting): $N(\varepsilon )$ to liczba oczek siatki o boku $\varepsilon ,$ które mają niepusty przekrój ze zbiorem^[6].
Najmniejsze pokrycie kulami: Minimalna liczba kul o promieniu $\varepsilon$ pokrywających zbiór^[6].
Maksymalne upakowanie kul: Maksymalna liczba rozłącznych kul o promieniu $\varepsilon$ z centrami wewnątrz zbioru $S$ ^[6].

Przykład: Zbiór Cantora

Klasyczny zbiór Cantora $C$ powstaje przez sukcesywne usuwanie środkowej części odcinka. W każdym $k$ -tym kroku konstrukcji mamy $2^{k}$ odcinków o długości $\varepsilon =(1/3)^{k}$ ^[7]. Podstawiając do wzoru:

\dim _{\text{box}}(C)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log 2^{k}}{\log 3^{k}}}={\frac {\log 2}{\log 3}}\approx 0{,}63093

Właściwości i relacje

Porównanie z wymiarem Hausdorffa

Dla każdego zbioru $S$ zachodzi relacja^[7]:

\dim _{H}(S)\leqslant {\underline {\dim }}_{\text{box}}(S)\leqslant {\overline {\dim }}_{\text{box}}(S)

Wymiar pudełkowy zbioru jest taki sam jak jego domknięcia $(\dim _{\text{box}}(S)=\dim _{\text{box}}({\overline {S}}))$ ^[8].

Przykład: Zbiór liczb wymiernych w przedziale $[0,1].$ Jego wymiar Hausdorffa wynosi 0 (jako zbiór przeliczalny), ale jego wymiar pudełkowy wynosi 1, ponieważ zbiór ten jest gęsty i jego domknięciem jest cały odcinek^[8].

Pozostałe cechy

Monotoniczność: Jeśli $A\subset B,$ to $\dim _{\text{box}}(A)\leqslant \dim _{\text{box}}(B)$ ^[8].
Niezmienniczość: Wymiar nie zmienia się przy przekształceniach lipschitzowskich (np. przesunięcia, obroty, skalowanie)^[9].

Zastosowania praktyczne

Ze względu na łatwość implementacji numerycznej (algorytm box-counting), wymiar ten jest standardem w naukach stosowanych^[10]:

Dziedzina	Zastosowanie	Źródło
Medycyna	Analiza stopnia unaczynienia nowotworów (angiogeneza) oraz struktury płuc.	^[10]
Inżynieria	Badanie chropowatości powierzchni materiałów w skali mikro i nano.	^[4]
Informatyka	Rozpoznawanie tekstur w obrazach cyfrowych i kompresja fraktalna.	^[10]
Ekologia	Opis złożoności systemów korzeniowych i struktury korony drzew.	^[1]

Przypisy

1 2 3 4 5 Falconer 2003 ↓, s. 38.
↑ Mandelbrot 1983 ↓, s. 445.
1 2 Mattila 1995 ↓, s. 77.
1 2 3 4 Tricot 1995 ↓, s. ?.
1 2 Falconer 2003 ↓, s. 39.
1 2 3 4 Falconer 2003 ↓, s. 41.
1 2 Falconer 2003 ↓, s. 44.
1 2 3 Falconer 2003 ↓, s. 40.
↑ Falconer 2003 ↓, s. 42.
1 2 3 Eric W. Weisstein: Minkowski-Bouligand Dimension. W: MathWorld [on-line]. Wolfram Research. (ang.).

Bibliografia

Benoit Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman, 1983. ISBN 978-0716711865.
Kenneth Falconer: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 2003. ISBN 0-470-84862-6.
Claude Tricot: Curves and Fractal Dimension. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-94095-2.
Pertti Mattila: Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge University Press, 1995. ISBN 978-0521655958.

[CITEREFFalconer200338-1] 1 2 3 4 5 Falconer 2003 ↓, s. 38.

[CITEREFMandelbrot1983445-2] Mandelbrot 1983 ↓, s. 445.

[CITEREFMattila199577-3] 1 2 Mattila 1995 ↓, s. 77.

[CITEREFTricot1995?-4] 1 2 3 4 Tricot 1995 ↓, s. ?.

[CITEREFFalconer200339-5] 1 2 Falconer 2003 ↓, s. 39.

[CITEREFFalconer200341-6] 1 2 3 4 Falconer 2003 ↓, s. 41.

[CITEREFFalconer200344-7] 1 2 Falconer 2003 ↓, s. 44.

[CITEREFFalconer200340-8] 1 2 3 Falconer 2003 ↓, s. 40.

[CITEREFFalconer200342-9] Falconer 2003 ↓, s. 42.

[Weisstein-10] 1 2 3 Eric W. Weisstein: Minkowski-Bouligand Dimension. W: MathWorld [on-line]. Wolfram Research. (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]