Álgebra finitamente gerada

Em matemática, uma álgebra finitamente gerada (também chamada de álgebra de tipo finito) sobre um anel comutativo R, ou simplesmente uma R-álgebra finitamente gerada, é uma álgebra associativa comutativa A definida pelo homomorfismo de anéis ${\displaystyle f:R\to A}$, tal que cada elemento de A pode ser expresso como um polinômio em um número finito de geradores ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ com coeficientes em ${\displaystyle f(R)}$. Dito de outra forma, existe um homomorfismo de álgebras sobre R sobrejetivo do anel de polinômios ${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ para A.

Se K é um corpo, considerado como uma subálgebra de A, e f é a injeção natural ${\displaystyle K\hookrightarrow A}$, então uma K-álgebra de tipo finito é uma álgebra associativa comutativa A onde existe um conjunto finito de elementos ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ tal que todo elemento de A pode ser expresso como um polinômio em ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, com coeficientes em K.

Equivalentemente, existem elementos ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ tais que o homomorfismo de avaliação em ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\mathbf {a} }\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

é sobrejetivo; assim, aplicando o primeiro teorema do isomorfismo, ${\displaystyle A\cong K[X_{1},\dots ,X_{n}]/\ker(\phi _{\mathbf {a} })}$.

Por outro lado, ${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ para qualquer ideal ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ é uma K-álgebra de tipo finito; de fato, qualquer elemento de A é um polinômio nas classes laterais ${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I}$, para i = 1, ..., n, com coeficientes em K. Portanto, obtemos a seguinte caracterização de K-álgebras finitamente geradas:^[1]

A é uma K-álgebra finitamente gerada se e somente se for isomorfa como uma K-álgebra a um anel quociente do tipo ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ por um ideal ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

Álgebras que não são finitamente geradas são chamadas de infinitamente geradas.

Um anel finitamente gerado refere-se a um anel que é finitamente gerado quando é considerado como uma ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-álgebra.

Uma álgebra ser finitamente gerada (de tipo finito) não deve ser confundida com uma álgebra ser finita (veja abaixo). Uma álgebra finita sobre R é uma álgebra associativa comutativa A que é finitamente gerada como um módulo; isto é, uma R-álgebra definida pelo homomorfismo de anéis ${\displaystyle f:R\to A}$, tal que cada elemento de A pode ser expresso como uma combinação linear de um número finito de geradores ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ com coeficientes em ${\displaystyle f(R)}$. Esta é uma condição mais forte do que A ser expressível como um polinômio em um conjunto finito de geradores, como é o caso da álgebra ser finitamente gerada.

• A álgebra de polinômios ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ é finitamente gerada. A álgebra de polinômios em um número infinito contável de geradores é infinitamente gerada.
• O anel de polinômios com coeficientes reais ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ é finitamente gerado sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mas não sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• O corpo ${\displaystyle E=K(t)}$ de funções racionais em uma variável sobre um corpo infinito K não é uma álgebra finitamente gerada sobre K. Por outro lado, E é gerado sobre K por um único elemento, t, como um corpo.
• Se ${\displaystyle E/F}$ é uma extensão de corpos finita, segue-se das definições que E é uma álgebra finitamente gerada sobre F.
• Por outro lado, se ${\displaystyle E/F}$ é uma extensão de corpos e E é uma álgebra finitamente gerada sobre F, então a extensão de corpos é finita. Isso é chamado de lema de Zariski. Veja também extensão inteira.
• Se G é um grupo finitamente gerado, então a álgebra de grupo KG é uma álgebra finitamente gerada sobre K.

• Uma imagem homomórfica de uma álgebra finitamente gerada é, ela própria, finitamente gerada. No entanto, uma propriedade semelhante para subálgebras não é válida em geral.
• Teorema da base de Hilbert: se A é uma álgebra comutativa finitamente gerada sobre um anel noetheriano, então todo ideal de A é finitamente gerado, ou equivalentemente, A é um anel noetheriano.

Álgebras comutativas reduzidas finitamente geradas são objetos básicos de consideração na geometria algébrica moderna, onde correspondem a variedades algébricas afins; por esta razão, essas álgebras também são chamadas de álgebras afins (comutativas). Mais precisamente, dado um conjunto algébrico afim ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$, podemos associar uma K-álgebra finitamente gerada

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

chamada de anel de coordenadas afins de V; além disso, se ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ é um mapa regular (ou morfismo) entre os conjuntos algébricos afins ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ e ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$, podemos definir um homomorfismo de K-álgebras

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\quad \phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

então, ${\displaystyle \Gamma }$ é um funtor contravariante da categoria dos conjuntos algébricos afins com mapas regulares para a categoria das K-álgebras reduzidas finitamente geradas: este funtor acaba sendo^[2] uma equivalência de categorias

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{conjuntos algébricos afins}})^{\mathrm {opp} }\to ({\text{K-álgebras reduzidas finitamente geradas}}),}$

e, restringindo-se a variedades afins (ou seja, conjuntos algébricos afins irredutíveis),

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{variedades algébricas afins}})^{\mathrm {opp} }\to ({\text{K-álgebras de integridade finitamente geradas}}).}$

Lembramos que uma álgebra comutativa A sobre R é um homomorfismo de anéis ${\displaystyle \phi \colon R\to A}$; a estrutura de módulo sobre R de A é definida por

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

Uma R-álgebra A é chamada de finita se for finitamente gerada como um R-módulo, ou seja, se houver um homomorfismo sobrejetivo de R-módulos

${\displaystyle R^{\oplus n}\twoheadrightarrow A.}$

Novamente, há uma caracterização de álgebras finitas em termos de quocientes:^[3]

Uma R-álgebra A é finita se e somente se for isomorfa a um quociente ${\displaystyle R^{\oplus n}/M}$ por um submódulo sobre R, ${\displaystyle M\subseteq R^{\oplus n}}$.

Por definição, uma R-álgebra finita é de tipo finito, mas a recíproca é falsa: o anel de polinômios ${\displaystyle R[X]}$ é de tipo finito, mas não é finito. No entanto, se uma R-álgebra for de tipo finito e inteira, então ela será finita. Mais precisamente, A é um R-módulo finitamente gerado se e somente se A for gerada como uma R-álgebra por um número finito de elementos inteiros sobre R.

Álgebras finitas e álgebras de tipo finito estão relacionadas às noções de morfismos finitos e morfismos de tipo finito.

• Módulo finitamente gerado
• Extensão de corpos finitamente gerada
• Lema de Artin-Tate
• Lema de normalização de Noether
• Álgebra finita
• Morfismo de tipo finito