53 temperamentos iguais

Na música, 53 temperamentos iguais, chamados 53 TET (53 Tons em Eqüi-Temperamento), 53 EDO (53 Eqüi-Divisões da Oitava) ou 53 ET, são a escala temperada derivada da divisão da oitava em 53 etapas iguais (relações de frequência iguais) (Play^ⓘ) Cada passo representa uma taxa de frequência de 2 1⁄53 ou 22,6415 centes (Play^ⓘ), um intervalo às vezes chamado de coma Holdrian.^[1][2]

O intervalo de 7⁄4 é de 4,8 cêntimos em sustenido no 53-EDO, e usá-lo para harmonia de 7 limites significa que o cleisma septimal (play^ⓘ).^[3], o intervalo 225⁄224, também é moderado.^[4][5]

A afinação pitagórica (ou temperamento pitagórico) é um sistema de entonação justa no qual intervalos de exatamente ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ (também notados como 2:3) são usados para obterem-se as frequências conseguintes. Na música, intervalos 2:3 são chamados "quintas", por abrangerem 5 posições na pauta musical. Intervalos 1:2 são nomeados "oitavas" (por abrangerem 8 posições na pauta) e levam diretamente à próxima aparição da mesma nota.

Tomando-se uma frequência inicial equivalente a uma certa nota, ao percorrer-se uma sequência (ascendente ou descendente) de quintas, jamais se chega à mesma nota, já que a equação ${\displaystyle {\frac {3}{2}}^{x}=2^{y}}$ não possui solução para x e y inteiros. Entretanto, é possível chegar bem próximo da mesma nota. A primeira vez que isso ocorre é ao subirem-se 12 quintas e descerem-se 7 oitavas. Chega-se, então, a uma frequência próxima à de partida. O erro ou diferença, nesse caso, é chamado de comma pitagórico = ${\displaystyle {\frac {1,5^{12}}{2^{7}}}=1,013643265}$, equivalendo a cerca de 1/4 de um semitom. Essa é a diferença real entre, por exemplo, C e B#. Por esse motivo, 12 é o número de divisões de oitava mais usado.^{[carece de fontes?]}. Se continuarmos percorrendo um ciclo de quintas, chegamos novamente a uma frequência ainda mais próxima da inicial após correr 53 quintas e voltar 31 oitavas. Essa é a segunda ocorrência, proporcionando, agora, um erro ainda bem menor, o comma de Mercator: ${\displaystyle {\frac {1,5^{53}}{2^{31}}}=1,002090314}$. A terceira ocorrência seria após 306 quintas. Para todas essas ocorrências, temos não somente um erro cada vez menor como também espectro de subdivisões da oitava aproximadamente equidistante. Todavia, o sistema 53 EDO aqui tratado não é de afinação pitagórica, mas de iguais subdivisões da oitava. Assim como o 12 EDO, ele aproxima o sistema de afinação pitagórica de tal maneira que todos os intervalos sejam equidistantes.

Desde a antiguidade, já havia interesse técnico na matemática da divisão de uma oitava. Ching Fang (78-37 AC), um músico teórico Chinês, já percebera que uma série de 53 quintas é aproximadamente igual a 31 oitavas. Ele calculara com uma precisão de 6 dígitos de acurácia. Mais tarde, no século XVII, Nicholas Mercator calculou tal valor com precisão como sendo ${\displaystyle 3^{53}/2^{84}}$. Hoje, tal intervalo é conhecido como comma de Mercator e equivale a aproximadamente 3,615 cêntimos. O sistema 53 EDO encurta as quintas em 1/53 desse comma ou cerca de 0,0682 cêntimo ou 1/315 comma sintônicos ou 1/355 comma pitagóricos.

Com o intuito de se usar a notação tradicional, sete notas nomeadas seguidas de sustenido ♯ ou bemol ♭ podem acabar tornando tudo confuso. Este não é o caso de 19 EDO ou 31 EDO nos quais há pouca ambigüidade. Por não ser mesotônico, acabam aparecendo problemas que requerem certa atenção. Especificamente, a terça maior é diferente de um ditom, cada um do qual é duas quintas menos uma oitava. Da mesma forma, a terça menor é diferente de um semiditom. O facto de que o comma sintônico não é temperado significa que notas e intervalos precisam ser definidos mais precisamente. A música clássica otomana usa uma notação de bemóis e sustenidos para um tom dividido em 9 commas.

Neste artigo, a notação diatônica será usada criando a seguinte escala cromática, na qual sustenidos e bemóis não são enarmônicos, somente E e B são enarmonicamente equivalente a F e C, respectivamente. Para outras notas, bemóis e sustenidos triplos e quádruplos não são enarmônicos.

C, C♯, C, C♯, C, D, D♭, D, D♭,

D, D♯, D, D♯, D, E, E♭, E, E♭,

E, E♯, E/F, F♭,

F, F♯, F, F♯, F, G, G♭, G, G♭,

G, G♯, G, G♯, G, A, A♭, A, A♭,

A, A♯, A, A♯, A, B, B♭, B, B♭,

B, B♯, B/C, C♭, C

Pelo facto de a distância de 31 passos nesta escala ser quase precisamente igual à quinta justa, em teoria esta escala pode ser considerada uma forma levemente temperada da afinação pitagórica que foi estendida a 53 tons. Como tal, os intervalos disponíveis podem ter as mesmas propriedades de qualquer afinação pitagórica, como quintas que são praticamente puras, terças maiores somente um pouco alargadas: 81⁄64 em comparação à pura terça maior 5⁄4, e terças menores que são só um pouco mais curtas (32⁄27 comparado a 6⁄5).

Não obstante, o sistema 53-EDO contém intervalos adicionais que estão muito próximos à entonação justa. Por exemplo, o intervalo de 17 passos é igualmente uma terça maior, mas apenas 1,4 cêntimos mais estreito que o intervalo justo 5⁄4. 53-EDO é muito bom como uma aproximação a qualquer intervalo em entonação justa de 5 limites.

Os casamentos de intervalos justos envolvendo o 7º harmônico são levemente menos próximos, mas todos esses tais intervalos ainda são casados, tendo 7⁄5 tritom como mais alto desvio. O 11º harmônico e os intervalos envolvendo-o são casados com menor proximidade, como ilustrado na tabela abaixo com as segundas e terças neutras em décima-primeira.