Autovetor generalizado

Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto.^[2][3][28]

Seja

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Então existe apenas um autovalor, ${\displaystyle \lambda =1}$, sendo sua multiplicidade algébrica m = 2.

Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é diagonal. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma superdiagonal, existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial ${\displaystyle V}$ é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do núcleo (espaço nulo) de ${\displaystyle A-\lambda I}$ como sendo p = 1, e assim existem m – p = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.

O autovetor ordinário ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ é computado da forma usual. Usando este autovetor é computado o autovetor generalizado ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ resolvendo

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

Explicitando os valores:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Isto se simplifica como

${\displaystyle v_{22}=1.}$

O elemento ${\displaystyle v_{21}}$ não tem restrições. O autovetor generalizado de grau 2 é então ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$, onde a pode assumir qualquer valor escalar. A escolha a = 0 é usualmente a mais simples.

Note que

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

tal que ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ é um autovetor generalizado,

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

tal que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ é um autovetor ordinário, e que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ são linearmente independentes e constituem assim uma base para o espaço vetorial ${\displaystyle V}$.

Este exemplo é mais elaborado que o Exemplo 1. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem.^[29] A matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

tem autovalores ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ com multiplicidades algébricas ${\displaystyle \mu _{1}=2}$ e ${\displaystyle \mu _{2}=3}$, mas multiplicidades geométricas ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ e ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$.

Os autoespaços generalizados de ${\displaystyle A}$ são calculados abaixo. ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ é o autovetor ordinário associado com ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ é um autovetor generalizado associado com ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ é o autovetor ordinário associado com ${\displaystyle \lambda _{2}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$ são autovetores generalizados associados com ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

Isto resulta em uma base para cada um dos autoespaços generalizados de ${\displaystyle A}$. Juntamente as duas cadeias de autovetores generalizados cobrem o espaço de todo os vetores colunas 5-dimensionais.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Uma matriz "quasi-diagonal" ${\displaystyle J}$ na forma normal de Jordan, similar a ${\displaystyle A}$ é obtida como segue:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

onde ${\displaystyle M}$ é uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$, as colunas de ${\displaystyle M}$ são uma base canônica para ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle AM=MJ}$.^[30]

A matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

tem um autovalor ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ de multiplicidade algébrica ${\displaystyle \mu _{1}=3}$ e um autovalor ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ de multiplicidade algébrica ${\displaystyle \mu _{2}=1}$. Temos n = 4. Para ${\displaystyle \lambda _{1}}$ temos ${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$.

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad posto(A-5I)^{3}=1.}$

O primeiro inteiro ${\displaystyle m_{1}}$ para o qual ${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$ tem posto ${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$ é ${\displaystyle m_{1}=3}$.

Definimos agora

${\displaystyle \rho _{3}=posto(A-5I)^{2}-posto(A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=posto(A-5I)^{1}-posto(A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=posto(A-5I)^{0}-posto(A-5I)^{1}=4-3=1.}$

Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como ${\displaystyle \lambda _{1}}$ corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ de posto 3 correspondente a ${\displaystyle \lambda _{1}}$ tal que

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} }$

(3)

mas

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

(4)

As equações (3) e (4) representam sistemas lineares que podem ser resolvidos para ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$. Seja

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

Então

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

e

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Assim, a fim de satisfazer as condições (3) e (4), devemos ter ${\displaystyle x_{34}=0}$ e ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Nenhuma restrição é imposta sobre ${\displaystyle x_{31}}$ e ${\displaystyle x_{32}}$. Escolhendo ${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$, obtemos

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

como um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$. Note que é possível obter infinitos outros autovetores generalizados de posto 3 escolhendo diferentes valores de ${\displaystyle x_{31}}$, ${\displaystyle x_{32}}$ e ${\displaystyle x_{33}}$, com ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Nossa primeira escolha, contudo, é a mais simples.^[33]

Agora usando as equações (1), obtemos ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ como autovetores generalizados de postos 2 e 1 respectivamente,onde

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

e

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

O autovalor simples ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ pode ser tratado usando técnicas padrão e tem um autovetor ordinário

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

Uma base canônica para ${\displaystyle A}$ é

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$ e ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ são autovetores generalizados associados com ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ é o autovetor ordinário associado com ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Deve ser notado que este é um exemplo simples. Em geral, os números ${\displaystyle \rho _{k}}$ de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k não serão sempre iguais. Isto é, pode haver diversas cadeias de comprimentos diferentes correspondentes a um particular autovalor.^[34]

Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

Solução: A equação característica de ${\displaystyle A}$ é ${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$, e então ${\displaystyle \lambda =2}$ é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos

${\displaystyle posto(A-2I)=1}$

e

${\displaystyle posto(A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

Assim, ${\displaystyle \rho _{2}=1}$ e ${\displaystyle \rho _{1}=2}$, que implica que a base canônica para ${\displaystyle A}$ contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ e uma cadeia de um vetor ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$. Designando ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$, temos

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

e

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

onde ${\displaystyle M}$ é uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$, as colunas de ${\displaystyle M}$ são uma base canônica para ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle AM=MJ}$.^[39] Note que desde que autovetores generalizados não são únicos, e desde que algumas das colunas de ambos ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle J}$ podem ser intercambiadas, segue que ambos ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle J}$ não são únicos.^[40]

No Exemplo 3 encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz ${\displaystyle A}$. Uma matriz modal generalizada para ${\displaystyle A}$ é

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a ${\displaystyle A}$ é

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

tal que ${\displaystyle AM=MJ}$.

Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre matrizes quadradas são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes.^[41] Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma função polinomial de uma matriz n × n ${\displaystyle A}$.^[42] Relembrando do cálculo básico que muitas funções podem ser expressas em uma série de Taylor, podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples.^[43] Se ${\displaystyle A}$ é diagonalizável, isto é

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

com

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

então

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

e a determinação da série de Taylor para funções de ${\displaystyle A}$ é significativamente simplificada.^[44] Por exemplo, para obter qualquer potência k de ${\displaystyle A}$, basta calcular ${\displaystyle D^{k}}$, premultiplicar ${\displaystyle D^{k}}$ por ${\displaystyle M}$, e posmultiplicar o resultado por ${\displaystyle M^{-1}}$.^[45]

Usandoautovetores generalizados podemos obter a forma canônica de Jordan para ${\displaystyle A}$ e estes resultados podem ser generalizados para um método direto para determinação de funções de matrizes não diagonalisáveis.^[46]

Considere o problema de resolver o sistema linear de equações diferencias ordinárias

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$

(5)

onde

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$      e      ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

Se a matriz ${\displaystyle A}$ é uma matriz diagonal tal que ${\displaystyle a_{ij}=0}$ para ${\displaystyle i\neq j}$, então o sistema (5) reduz-se a um sistema de n equações na forma

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}.}$

(6)

Neste caso, a solução geral é dada por

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

No caso geral, tenta-se diagonalizar ${\displaystyle A}$ e reduzir (5) para um sistema (6) como a seguir. Se ${\displaystyle A}$ é diagonalizável, então tem-se que ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$, onde ${\displaystyle M}$ é a matriz modal de ${\displaystyle A}$. Substituindo a equação ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$, (5) toma a forma ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$, ou

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,}$

(7)

onde

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} .}$

(8)

A solução de (7) é dada por

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

A solução ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de (5) é obtida usando a relação (8).^[47]

Por outro lado, se ${\displaystyle A}$ não é diagonalizável, escolhe-se para ${\displaystyle M}$ uma matriz modal generalizada de ${\displaystyle A}$, tal que ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ é a forma canônica de Jordan normal of ${\displaystyle A}$. O sistema ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$ possui a forma

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}}$

(9)

onde ${\displaystyle \lambda _{i}}$ são os autovalores da diagonal principal de ${\displaystyle J}$ e ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ são os uns e zeros da superdiagonal de ${\displaystyle J}$. O sistema (9) normalmente é de resolução mais fácil que (5). Podemos então solucionar (9) para ${\displaystyle y_{n}}$, obtendo ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$. Substituímos então essa solução por ${\displaystyle y_{n}}$ na penúltima equação em (9) e resolvemos para ${\displaystyle y_{n-1}}$. Continuando dessa forma resolvemos (9) da última para a primeira equação, resolvendo o sistema inteiro para ${\displaystyle \mathbf {y} }$. A solução ${\displaystyle \mathbf {x} }$ é obtida então usando (8).^[48]