Cardinal inacessível

Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um número cardinal ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é denominado inacessível se ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é um cardinal regular, não enumerável e limite forte. Essa propriedade é chamada as vezes de fortemente inacessível e é considerada uma propriedade de grande cardinal.

Um cardinal ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é inacessível se satisfaz as seguintes três propriedades^[1]:

1) ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ não é enumerável:

${\displaystyle \kappa ^{\,}>\omega =\aleph _{0}}$

onde ${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$ é o cardinal do conjunto dos números naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

2) ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é regular:

${\displaystyle {\mbox{cf}}\left(\kappa ^{\,}\right)=\kappa }$

onde ${\displaystyle {\mbox{cf}}\left(\kappa ^{\,}\right)}$ é a cofinalidade de ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$.^[2]

3) ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é limite forte:

${\displaystyle \forall \lambda <\kappa ^{\,}\left(2^{\lambda }<\kappa ^{\,}\right)}$

Um cardinal ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é fracamente inacessível ou inacessível no sentido fraco se satisfaz "1)" e "2)" acima, mas "3)" é substituída por:

3*) ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é cardinal limite:^[3]

${\displaystyle \forall \lambda <\kappa ^{\,}\left(\lambda ^{+}<\kappa ^{\,}\right)}$

Na literatura mais antiga, o termo "inacessível" já foi usado para se referir aos cardinais fracamente inacessíveis, criando uma certa ambiguidade.^[4]

Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "inacessível" e "fracamente inacessível" são equivalentes.^[5]

Em ZFC, se ${\displaystyle V_{\alpha }}$ é a hierarquia cumulativa de von Neumann, então, se ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é inacessível, então ${\displaystyle V_{\kappa }}$ é um modelo de ZFC.^[6] Em particular, se ${\displaystyle \kappa ^{\,}}$ é o primeiro inacessível, então ${\displaystyle V_{\kappa }}$ é um modelo de ZFC + "não existem cardinais inacessíveis", demonstrando a consistência relativa enunciado "não existem cardinais inacessíveis",ou seja, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC é consistente.^[7] Mas isso também implica que a consistência de ZFC + "existem cardinais inacessíveis" não pode ser demonstrada em ZFC, ao menos que ZFC seja inconsistente.^[8]

Com relação à cardinalidade do contínuo, se supormos a consistência de ZFC mais "existe um cardinal fracamente inacessível", então ZFC mais "${\displaystyle 2^{\omega }}$ é fracamente inacessível" também é consistente.^[9]

Se denominarmos ZFCI à ZFC mais o enunciado "existe um cardinal inacessível", devido a que a consistência de ZFC pode ser demonstrada em ZFCI, essa última teoria demonstra mais enunciados de teoria de números, se ZFC é consistente:

a afirmação (mas não a negação) do axioma [sobre a existência de cardinais inacessíveis] implica novos teoremas sobre inteiros^[10]

A demonstração do Teorema de Fermat efetuada por Wiles usa como pressuposto a existência de Universos de Grothendieck:

Grothendieck dá uma prova do que os pesquisadores de teoria dos conjuntos já sabiam: a definição de um universo em ZFC é o mesmo que dizer U é o conjunto ${\displaystyle \;V_{\alpha }\;}$ de todos os conjuntos tomando valores menores que ${\displaystyle \;\alpha ^{\,}\;}$ para algum cardinal não enumerável fortemente inacessível ${\displaystyle \;\alpha ^{\,}\;}$.^[11]

Em outras palavras, a demonstração de Wiles é realizada numa teoria mais forte que ZFC, como quando acrescentamos a existência de um cardinal inacessível. Entretanto, Mc Larty expressa a esperança de que essas hipóteses possam ser eliminadas e que o Teorema de Fermat possa ser demonstrado num fragmento da Aritmética de Peano, mas não propõe nenhuma linha demonstrativa de fazer isso, só possíveis caminhos.^[12]

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