Causalidade de Granger

Quando a série temporal X Granger causa a série temporal Y, os padrões em X se repetem aproximadamente em Y após um certo intervalo de tempo (dois exemplos são indicados com setas). Portanto, os valores passados de X podem ser usados para a previsão dos valores futuros de Y.

O teste de causalidade de Granger é um teste de hipótese para determinar se uma série temporal é útil na previsão de outra, concebida em 1969.^[1] Normalmente, as regressões refletem apenas correlações entre as séries, mas Clive Granger argumentou que é possível conceber uma ideia de causalidade em economia que poderia ser testada medindo a capacidade de prever os valores futuros de uma série temporal usando valores anteriores de outra série temporal. Como a questão do que é "causalidade verdadeira" é profundamente filosófica, e devido à falácia post hoc ergo propter hoc de assumir que uma coisa precedendo outra pode ser usada como prova de causalidade, os econometristas afirmam que o teste de Granger encontra apenas "causalidade preditiva".^[2] Portanto, usar o termo "causalidade" sozinho é incorreto, uma vez que a causalidade de Granger é melhor descrita como "precedência",^[3] ou, como o próprio Granger afirmou posteriormente em 1977, "relacionada temporalmente".^[4] Em vez de testar se X causa Y, a causalidade de Granger testa se X pode ser utilizado para prever Y. ^[5]

Diz-se que uma série temporal X Granger-causa Y se for possível rejeitar, geralmente por meio de uma série de testes t e testes F em valores defasados de X (e incluindo também valores defasados de Y), que esses valores de X fornecem não informações estatisticamente significativas sobre os valores futuros de Y.

Granger também enfatizou que alguns estudos que usaram testes de "causalidade de Granger" em áreas fora da economia chegaram a conclusões "ridículas".^[6] "É claro que muitos artigos ridículos apareceram", disse ele em sua palestra de recebimento do Prêmio Nobel.^[7] No entanto, continua sendo um método popular para análise de 'causalidade' em séries temporais devido à sua simplicidade computacional.^[8]^[9] A definição original de causalidade de Granger não leva em conta efeitos de confusão latentes e não captura relações causais instantâneas, tampouco é capaz de perceber certas relações não lineares, embora várias extensões tenham sido propostas para abordar essas questões.^[8]

Intuição

Dizemos que uma variável X que evolui ao longo do tempo Granger-causa, outra variável Y que também evolui, se as previsões do valor de Y baseadas em seus próprios valores passados e nos valores passados de X forem melhores do que as previsões de Y baseadas apenas nos valores passados de Y. Ou seja, observar o passado de X ajuda a prever Y mesmo que saibamos os valores passados de Y.

Princípios subjacentes

Granger definiu a relação de causalidade com base em dois princípios: ^[8] ^[10]

A causa ocorre antes do efeito.
A causa possui informações únicas sobre os valores futuros de seu efeito.

Dadas essas duas premissas sobre causalidade, Granger propôs testar a seguinte hipótese para a identificação de um efeito causal de $X$ sobre $Y$ :

\mathbb {P} [Y(t+1)\in A\mid {\mathcal {I}}(t)]\neq \mathbb {P} [Y(t+1)\in A\mid {\mathcal {I}}_{-X}(t)],

onde $\mathbb {P}$ é probabilidade, $A$ um conjunto não vazio arbitrário, e ${\mathcal {I}}(t)$ e ${\mathcal {I}}_{-X}(t)$ denotam respectivamente as informações disponíveis no instante $t$ em todo o universo, e naquele universo modificado em que $X$ está excluída. Se a hipótese acima for aceita, dizemos que $X$ Granger causa $Y$ . ^[8] ^[10]

Método

Se uma série temporal for um processo estacionário, o teste é realizado utilizando os valores de nível de duas (ou mais) variáveis. Se as variáveis não forem estacionárias, o teste é feito utilizando as primeiras (ou maiores) diferenças. O número de defasagens a serem incluídas é geralmente escolhido utilizando um critério de informação, como o critério de informação de Akaike (AIC) ou o critério de informação de Schwarz (BIC). Qualquer valor defasado específico de uma das variáveis é mantido na regressão se (1) for significativo de acordo com um teste t e (2) ele e os outros valores defasados da variável, em conjunto, adicionarem poder explicativo ao modelo de acordo com um teste F. Assim, a hipótese nula de ausência de causalidade de Granger não é rejeitada se, e somente se, nenhum valor defasado de uma variável explicativa tiver sido mantido na regressão.

Na prática, pode-se constatar que nenhuma das variáveis Granger causa a outra, ou que cada uma das duas variáveis Granger causem a outra.

Declaração matemática

Sejam y e x duas séries temporais estacionárias. Para testar a hipótese nula de que x não Granger-causa y, o procedimento padrão envolve a comparação de dois modelos de regressão linear.

Primeiro, estima-se um modelo restrito (uma autorregressão univariada de y), onde a variável dependente é explicada apenas por suas próprias defasagens (lags) até uma ordem m:

y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{m}y_{t-m}+{\text{erro}}_{t}.

Em seguida, estima-se um modelo irrestrito, adicionando as defasagens da variável x como variáveis explicativas adicionais. Note que, ao inserir novas variáveis, os parâmetros estimados para as defasagens de y sofrerão alterações, exigindo uma nova notação:

y_{t}=c_{0}+c_{1}y_{t-1}+c_{2}y_{t-2}+\cdots +c_{m}y_{t-m}+b_{p}x_{t-p}+\cdots +b_{q}x_{t-q}+{\text{erro}}_{t}.

Realiza-se então um teste F (ou teste de Wald) para avaliar a significância conjunta de todas as defasagens de x. A hipótese nula do teste afirma que os parâmetros de x são conjuntamente iguais a zero:

$H_{0}:b_{1},b_{2},...b_{p}=0$

A hipótese de que x não Granger-causa y é rejeitada se, e somente se, o valor da estatística F calculada for maior que o valor crítico para um dado nível de significância. Isso indica que o histórico de x adiciona poder preditivo à regressão de y além daquele já contido no próprio histórico de y.

Análise multivariada

A análise de causalidade de Granger multivariada geralmente é realizada ajustando um modelo autorregressivo vetorial (VAR) à série temporal. Dado $X(t)\in \mathbb {R} ^{d\times 1}$ para $t=1,\ldots ,T$ ser um $d$ séries temporais multivariadas de dimensão n. A causalidade de Granger é realizada ajustando um modelo VAR com $L$ Os atrasos temporais são os seguintes:

X(t)=\sum _{\tau =1}^{L}A_{\tau }X(t-\tau )+\varepsilon (t),

onde $\varepsilon (t)$ é um vetor aleatório gaussiano branco, e $A_{\tau }$ é uma matriz para cada $\tau$ . Dizemos que um série temporal $X_{i}$ Granger-causa outra série temporal $X_{j}$ , se pelo menos um dos elementos $A_{\tau }(j,i)$ para $\tau =1,\ldots ,L$ é maior que zero de forma estátisticamente significante.^[11]

Teste não paramétrico

Os métodos lineares tradicionais são adequados para testar a causalidade de Granger na média. No entanto, eles não são capazes de detectar a causalidade em momentos de ordem superior, como, por exemplo, na variância. Testes não paramétricos de causalidade de Granger são utilizados para contornar esse problema Testes não paramétricos para causalidade de Granger são utilizados para abordar esse problema. ^[12] A definição de causalidade nesses testes é geral e não envolve premissas rígidas de modelagem, como a exigência de um modelo autorregressivo linear. Assim, os testes não paramétricos podem ser usados como ferramentas de diagnóstico para a construção de modelos paramétricos mais robustos, que incorporem momentos de ordem superior e/ou não linearidades.^[13]

Limitações

Apesar do nome indicar isso a causalidade de Granger não é necessariamente causalidade verdadeira.^[14] Se X e Y forem impulsionados por um terceiro processo comum com diferentes defasagens, ainda assim pode-se não rejeitar a hipótese alternativa de causalidade de Granger. No entanto, a manipulação de uma das variáveis não alteraria a outra. De fato, os testes de causalidade de Granger são projetados para lidar com pares de variáveis e podem produzir resultados enganosos quando a verdadeira relação envolve três ou mais variáveis. Outras possíveis fontes de resultados de testes enganosos são: (1) amostragem insuficiente ou excessiva, (2) relação causal não linear, (3) não estacionariedade e não linearidade da série temporal e (4) existência de expectativas racionais. ^[14] Um teste semelhante envolvendo mais variáveis pode ser aplicado com autorregressão vetorial .

A validade do teste de causalidade de Granger foi questionada na literatura acadêmica, ^[15] em um artigo que afirma que "nem mesmo o requisito mais fundamental necessário a qualquer possível definição de causalidade é atendido pelo teste de causalidade de Granger... qualquer definição de causalidade deve se referir à previsão do futuro a partir do passado... descobrimos que Granger também permite 'prever' o passado a partir do futuro".

Extensões

Foi desenvolvido um método para a causalidade de Granger que não é sensível a desvios da premissa de que o termo de erro segue uma distribuição normal.^[16] Esse método é especialmente útil em economia financeira, visto que muitas variáveis financeiras não seguem uma distribuição normal.^[17] Recentemente, testes de causalidade assimétrica foram sugeridos na literatura para separar o impacto causal de variações positivas do impacto de variações negativas.^[18] Uma extensão do teste de (não)causalidade de Granger para dados em painel também está disponível.^[19] Existe, ainda, um teste de causalidade de Granger modificado baseado em modelos de séries temporais com valores inteiros do tipo GARCH.^[20]^[21]

Causalidade de Granger variável no tempo

A extensão da causalidade de Granger para incorporar sua natureza dinâmica e variável no tempo permite uma compreensão com maior nuance de como as relações causais de séries temporais evoluem ao longo do tempo.^[22] A metodologia utiliza técnicas recursivas, como as janelas de Expansão Direta, Rolagem e Evolução Recursiva, para superar as limitações dos testes tradicionais de causalidade de Granger e compreender as mudanças nas relações causais em diferentes períodos. ^[23] Um aspecto central dessa metodologia é o comando 'tvgc' no Stata. ^[22] Aplicações empíricas, como dados envolvendo taxas de transação e subsistemas econômicos no Ethereum, destacam a natureza dinâmica das relações econômicas ao longo do tempo. ^[24]

Em neurociência

Uma crença antiga sobre a função neural sustentava que diferentes áreas do cérebro eram específicas para determinadas tarefas; isto é, que a conectividade estrutural local de uma certa área ditava, de alguma forma, a função daquela região. Graças a trabalhos realizados ao longo de muitos anos, houve uma mudança para uma abordagem diferente, centrada em redes, para descrever o fluxo de informações no cérebro. A explicação da função cerebral está começando a incluir o conceito de redes existentes em diferentes níveis e locais do cérebro.^[25] O comportamento dessas redes pode ser descrito por processos não determinísticos que evoluem ao longo do tempo. Ou seja, dado o mesmo estímulo de entrada, não se obterá necessariamente a mesma saída da rede. A dinâmica dessas redes é governada por probabilidades, de modo que elas são tratadas como processos estocásticos para que se possa capturar esses tipos de dinâmica entre diferentes áreas do cérebro.

Diferentes métodos para obter alguma medida do fluxo de informação a partir das atividades de disparo de um neurônio e de sua população circundante foram explorados no passado. No entanto, eles são limitados nos tipos de conclusões que podem ser tiradas e fornecem pouca informação sobre o fluxo direcional da informação, o tamanho do efeito e como ele pode mudar com o tempo. ^[26] Recentemente, a causalidade de Granger foi aplicada para abordar algumas dessas questões. ^[27] De forma mais simplificada, utilizando os dados de toda a rede (ou de toda a rede exceto um determinado neurônio-alvo), pode-se tentar prever o comportamento futuro de um neurônio específico.

Extensões para modelos de processos pontuais

Os métodos anteriores de causalidade de Granger só podiam operar em dados de valor contínuo, de modo que a análise de gravações de trens de disparos neurais envolvia transformações que alteravam as propriedades estocásticas dos dados, afetando indiretamente a validade das conclusões que poderiam ser tiradas deles. Em 2011, no entanto, foi proposto um modelo de causalidade de Granger de propósito geral que poderia operar diretamente em qualquer modalidade, incluindo trens de disparos neurais.^[26]

Os dados de trens de disparos neurais podem ser modelados como um processo pontual. Um processo pontual temporal é uma série temporal estocástica de eventos binários que ocorrem em tempo contínuo. Ele pode assumir apenas dois valores em cada instante, indicando se um evento de fato ocorreu ou não. Esse tipo de representação binária da informação se adequa à atividade de populações neurais, pois o potencial de ação de um único neurônio possui uma forma de onda estereotipada. Dessa forma, o que carrega a informação real emitida por um neurônio é a ocorrência de um "disparo" (spike), bem como o intervalo de tempo entre disparos sucessivos. Usando essa abordagem, pode-se abstrair o fluxo de informação em uma rede neural para simplesmente os instantes de disparo de cada neurônio ao longo de um período de observação. Um processo pontual pode ser representado pelos instantes dos próprios disparos, pelos intervalos de tempo entre disparos, ou pelo uso de um processo de contagem.

Um dos modelos mais simples de disparo neuronal é o processo de Poisson . No entanto, este é limitado por não considerar eventos passados. Ele não leva em conta o histórico de disparos ao calcular a probabilidade atual de disparo. Os neurônios, porém, exibem uma dependência biofísica do histórico por meio de seus períodos refratários relativos e absolutos. Para lidar com isso, utiliza-se uma função de intensidade condicional para representar a probabilidade de um neurônio disparar, condicionada ao seu próprio histórico. A função de intensidade condicional expressa a probabilidade instantânea de disparo e define implicitamente um modelo de probabilidade completo para o processo pontual, estabelecendo uma probabilidade por unidade de tempo. Assim, se essa unidade de tempo for considerada pequena o suficiente para garantir que apenas um disparo possa ocorrer naquele intervalo, a função de intensidade condicional especifica completamente a probabilidade de um determinado neurônio disparar em um certo intervalo de tempo.

Um dos modelos mais simples de disparo neuronal é o processo de Poisson. No entanto, este é limitado por não considerar eventos passados. Ele não leva em conta o histórico de disparos ao calcular a probabilidade atual de disparo. Os neurônios, porém, exibem uma dependência biofísica fundamental do histórico por meio de seus períodos refratários relativos e absolutos. Para lidar com isso, utiliza-se uma função de intensidade condicional para representar a probabilidade de um neurônio disparar, condicionada ao seu próprio histórico. A função de intensidade condicional expressa a probabilidade instantânea de disparo e define implicitamente um modelo de probabilidade completo para o processo pontual, estabelecendo uma probabilidade por unidade de tempo. Assim, se essa unidade de tempo for considerada pequena o suficiente para garantir que apenas um disparo possa ocorrer naquele intervalo, a função de intensidade condicional especifica completamente a probabilidade de um determinado neurônio disparar em um certo intervalo de tempo.

Em computação

Foram desenvolvidos pacotes de software para medir a "causalidade de Granger" em Python e R :

Pacote Python
Pacote R

Referências

↑ Granger, C. W. J. (1969). «Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods». Econometrica. 37 (3): 424–438. JSTOR 1912791. doi:10.2307/1912791
↑ Diebold, Francis X. (2007). Elements of Forecasting (PDF) 4th ed. [S.l.]: Thomson South-Western. pp. 230–231. ISBN 978-0-324-35904-6
↑ Leamer, Edward E. (1985). «Vector Autoregressions for Causal Inference?». Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy. 22: 283. doi:10.1016/0167-2231(85)90035-1
↑ Granger, C. W. J.; Newbold, Paul (1977). Forecasting Economic Time Series. New York: Academic Press. ISBN 0-12-295150-6
↑ Hamilton, James D. (1994). Time Series Analysis (PDF). [S.l.]: Princeton University Press. pp. 306–308. ISBN 0-691-04289-6
↑ Thurman, Walter (1988). «Chickens, Eggs, and Causality or Which Came First?» (PDF). American Journal of Agricultural Economics. 70 (2): 237–238. JSTOR 1242062. doi:10.2307/1242062. Consultado em 2 abril 2022
↑ Granger, Clive W. J. (2004). «Time Series Analysis, Cointegration, and Applications» (PDF). American Economic Review. 94 (3): 421–425. CiteSeerX 10.1.1.370.6488. doi:10.1257/0002828041464669. Consultado em 12 junho 2019
1 2 3 4 Eichler, Michael (2012). «Causal Inference in Time Series Analysis». In: Berzuini. Causality: statistical perspectives and applications 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley. pp. 327–352. ISBN 978-0-470-66556-5
↑ Seth, Anil (2007). «Granger causality». Scholarpedia. 2 (7): 1667. Bibcode:2007SchpJ...2.1667S. doi:10.4249/scholarpedia.1667
1 2 Granger, C.W.J. (1980). «Testing for causality: A personal viewpoint». Journal of Economic Dynamics and Control. 2: 329–352. doi:10.1016/0165-1889(80)90069-X
↑ Lütkepohl, Helmut (2005). New introduction to multiple time series analysis 3 ed. Berlin: Springer. pp. 41–51. ISBN 978-3-540-26239-8
↑ Diks, Cees; Panchenko, Valentyn (2006). «A new statistic and practical guidelines for nonparametric Granger causality testing» (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 30 (9): 1647–1669. doi:10.1016/j.jedc.2005.08.008
↑ Francis, Bill B.; Mougoue, Mbodja; Panchenko, Valentyn (2010). «Is there a Symmetric Nonlinear Causal Relationship between Large and Small Firms?» (PDF). Journal of Empirical Finance. 17 (1): 23–28. doi:10.1016/j.jempfin.2009.08.003
1 2 Mariusz, Maziarz (20 de maio de 2015). «A review of the Granger-causality fallacy». The Journal of Philosophical Economics (em inglês). VIII. (2). ISSN 1843-2298
↑ Grassmann, Greta (2020). «New considerations on the validity of the Wiener-Granger causality test». Heliyon. 6 (10). Bibcode:2020Heliy...605208G. PMC 7578691. PMID 33102842. doi:10.1016/j.heliyon.2020.e05208
↑ Hacker, R. Scott; Hatemi-j, A. (2006). «Tests for causality between integrated variables using asymptotic and bootstrap distributions: Theory and application». Applied Economics. 38 (13): 1489–1500. doi:10.1080/00036840500405763
↑ Mandelbrot, Benoit (1963). «The Variation of Certain Speculative Prices». The Journal of Business. 36 (4): 394–419. doi:10.1086/294632
↑ Hatemi-j, A. (2012). «Asymmetric causality tests with an application». Empirical Economics. 43: 447–456. doi:10.1007/s00181-011-0484-x
↑ Dumitrescu, E.-I.; Hurlin, C. (2012). «Testing for Granger non-causality in heterogeneous panels». Economic Modelling. 29 (4): 1450–1460. CiteSeerX 10.1.1.395.568. doi:10.1016/j.econmod.2012.02.014
↑ Chen, Cathy W. S.; Hsieh, Ying-Hen; Su, Hung-Chieh; Wu, Jia Jing (1 de fevereiro de 2018). «Causality test of ambient fine particles and human influenza in Taiwan: Age group-specific disparity and geographic heterogeneity». Environment International (em inglês). 111: 354–361. Bibcode:2018EnInt.111..354C. ISSN 0160-4120. PMID 29173968. doi:10.1016/j.envint.2017.10.011
↑ Chen, Cathy W. S.; Lee, Sangyeol (2017). «Bayesian causality test for integer-valued time series models with applications to climate and crime data». Journal of the Royal Statistical Society, Series C (Applied Statistics) (em inglês). 66 (4): 797–814. ISSN 1467-9876. doi:10.1111/rssc.12200
1 2 Baum, Christopher F.; Hurn, Stan; Otero, Jesús (30 de junho de 2022). «Testing for time-varying Granger causality». The Stata Journal: Promoting Communications on Statistics and Stata (em inglês). 22 (2): 355–378. ISSN 1536-867X. doi:10.1177/1536867X221106403
↑ Shojaie, Ali; Fox, Emily B. (7 de março de 2022). «Granger Causality: A Review and Recent Advances». Annual Review of Statistics and Its Application (em inglês). 9 (1): 289–319. Bibcode:2022AnRSA...9..289S. ISSN 2326-8298. PMC 10571505. PMID 37840549. arXiv:2105.02675. doi:10.1146/annurev-statistics-040120-010930
↑ Ante, Lennart; Saggu, Aman (4 de janeiro de 2024). «Time-Varying Bidirectional Causal Relationships between Transaction Fees and Economic Activity of Subsystems Utilizing the Ethereum Blockchain Network». Journal of Risk and Financial Management (em inglês). 17 (1): 19. ISSN 1911-8074. arXiv:2501.05299. doi:10.3390/jrfm17010019
↑ Knight, R. T (2007). «Neuroscience: Neural Networks Debunk Phrenology». Science. 316 (5831): 1578–9. PMID 17569852. doi:10.1126/science.1144677
1 2 Kim, Sanggyun; Putrino, David; Ghosh, Soumya; Brown, Emery N (2011). «A Granger Causality Measure for Point Process Models of Ensemble Neural Spiking Activity». PLOS Computational Biology. 7 (3). Bibcode:2011PLSCB...7E1110K. PMC 3063721. PMID 21455283. doi:10.1371/journal.pcbi.1001110
↑ Bressler, Steven L; Seth, Anil K (2011). «Wiener–Granger Causality: A well established methodology». NeuroImage. 58 (2): 323–9. PMID 20202481. doi:10.1016/j.neuroimage.2010.02.059

Leitura complementar

Enders, Walter (2004). Applied Econometric Time Series Second ed. New York: Wiley. pp. 283–288. ISBN 978-0-471-23065-6
Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. (2009). «Causality in Economics: The Granger Causality Test». Basic Econometrics Fifth international ed. New York: McGraw-Hill. pp. 652–658. ISBN 978-007-127625-2
Hoover, Kevin D. (1988). «Granger-causality». The New Classical Macroeconomics. Oxford: Basil Blackwell. pp. 168–176. ISBN 978-0-631-14605-6
Kuersteiner, Guido (2008). «Granger–Sims causality». The New Palgrave Dictionary of Economics
Kleinberg, S. and Hripcsak, G. (2011) "A review of causal inference for biomedical informatics" Arquivado em 2012-04-30 no Wayback Machine J. Biomed Informatics

[1] Granger, C. W. J. (1969). «Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Methods». Econometrica. 37 (3): 424–438. JSTOR 1912791. doi:10.2307/1912791

[2] Diebold, Francis X. (2007). Elements of Forecasting (PDF) 4th ed. [S.l.]: Thomson South-Western. pp. 230–231. ISBN 978-0-324-35904-6

[3] Leamer, Edward E. (1985). «Vector Autoregressions for Causal Inference?». Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy. 22: 283. doi:10.1016/0167-2231(85)90035-1

[4] Granger, C. W. J.; Newbold, Paul (1977). Forecasting Economic Time Series. New York: Academic Press. ISBN 0-12-295150-6

[5] Hamilton, James D. (1994). Time Series Analysis (PDF). [S.l.]: Princeton University Press. pp. 306–308. ISBN 0-691-04289-6

[6] Thurman, Walter (1988). «Chickens, Eggs, and Causality or Which Came First?» (PDF). American Journal of Agricultural Economics. 70 (2): 237–238. JSTOR 1242062. doi:10.2307/1242062. Consultado em 2 abril 2022

[7] Granger, Clive W. J. (2004). «Time Series Analysis, Cointegration, and Applications» (PDF). American Economic Review. 94 (3): 421–425. CiteSeerX 10.1.1.370.6488. doi:10.1257/0002828041464669. Consultado em 12 junho 2019

[Eichler-8] 1 2 3 4 Eichler, Michael (2012). «Causal Inference in Time Series Analysis». In: Berzuini. Causality: statistical perspectives and applications 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley. pp. 327–352. ISBN 978-0-470-66556-5

[Scholarpedia-9] Seth, Anil (2007). «Granger causality». Scholarpedia. 2 (7): 1667. Bibcode:2007SchpJ...2.1667S. doi:10.4249/scholarpedia.1667

[Granger80-10] 1 2 Granger, C.W.J. (1980). «Testing for causality: A personal viewpoint». Journal of Economic Dynamics and Control. 2: 329–352. doi:10.1016/0165-1889(80)90069-X

[11] Lütkepohl, Helmut (2005). New introduction to multiple time series analysis 3 ed. Berlin: Springer. pp. 41–51. ISBN 978-3-540-26239-8

[12] Diks, Cees; Panchenko, Valentyn (2006). «A new statistic and practical guidelines for nonparametric Granger causality testing» (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 30 (9): 1647–1669. doi:10.1016/j.jedc.2005.08.008

[13] Francis, Bill B.; Mougoue, Mbodja; Panchenko, Valentyn (2010). «Is there a Symmetric Nonlinear Causal Relationship between Large and Small Firms?» (PDF). Journal of Empirical Finance. 17 (1): 23–28. doi:10.1016/j.jempfin.2009.08.003

[:0-14] 1 2 Mariusz, Maziarz (20 de maio de 2015). «A review of the Granger-causality fallacy». The Journal of Philosophical Economics (em inglês). VIII. (2). ISSN 1843-2298

[15] Grassmann, Greta (2020). «New considerations on the validity of the Wiener-Granger causality test». Heliyon. 6 (10). Bibcode:2020Heliy...605208G. PMC 7578691. PMID 33102842. doi:10.1016/j.heliyon.2020.e05208

[16] Hacker, R. Scott; Hatemi-j, A. (2006). «Tests for causality between integrated variables using asymptotic and bootstrap distributions: Theory and application». Applied Economics. 38 (13): 1489–1500. doi:10.1080/00036840500405763

[17] Mandelbrot, Benoit (1963). «The Variation of Certain Speculative Prices». The Journal of Business. 36 (4): 394–419. doi:10.1086/294632

[18] Hatemi-j, A. (2012). «Asymmetric causality tests with an application». Empirical Economics. 43: 447–456. doi:10.1007/s00181-011-0484-x

[19] Dumitrescu, E.-I.; Hurlin, C. (2012). «Testing for Granger non-causality in heterogeneous panels». Economic Modelling. 29 (4): 1450–1460. CiteSeerX 10.1.1.395.568. doi:10.1016/j.econmod.2012.02.014

[20] Chen, Cathy W. S.; Hsieh, Ying-Hen; Su, Hung-Chieh; Wu, Jia Jing (1 de fevereiro de 2018). «Causality test of ambient fine particles and human influenza in Taiwan: Age group-specific disparity and geographic heterogeneity». Environment International (em inglês). 111: 354–361. Bibcode:2018EnInt.111..354C. ISSN 0160-4120. PMID 29173968. doi:10.1016/j.envint.2017.10.011

[21] Chen, Cathy W. S.; Lee, Sangyeol (2017). «Bayesian causality test for integer-valued time series models with applications to climate and crime data». Journal of the Royal Statistical Society, Series C (Applied Statistics) (em inglês). 66 (4): 797–814. ISSN 1467-9876. doi:10.1111/rssc.12200

[:1-22] 1 2 Baum, Christopher F.; Hurn, Stan; Otero, Jesús (30 de junho de 2022). «Testing for time-varying Granger causality». The Stata Journal: Promoting Communications on Statistics and Stata (em inglês). 22 (2): 355–378. ISSN 1536-867X. doi:10.1177/1536867X221106403

[23] Shojaie, Ali; Fox, Emily B. (7 de março de 2022). «Granger Causality: A Review and Recent Advances». Annual Review of Statistics and Its Application (em inglês). 9 (1): 289–319. Bibcode:2022AnRSA...9..289S. ISSN 2326-8298. PMC 10571505. PMID 37840549. arXiv:2105.02675. doi:10.1146/annurev-statistics-040120-010930

[24] Ante, Lennart; Saggu, Aman (4 de janeiro de 2024). «Time-Varying Bidirectional Causal Relationships between Transaction Fees and Economic Activity of Subsystems Utilizing the Ethereum Blockchain Network». Journal of Risk and Financial Management (em inglês). 17 (1): 19. ISSN 1911-8074. arXiv:2501.05299. doi:10.3390/jrfm17010019

[pmid17569852-25] Knight, R. T (2007). «Neuroscience: Neural Networks Debunk Phrenology». Science. 316 (5831): 1578–9. PMID 17569852. doi:10.1126/science.1144677

[Kim-26] 1 2 Kim, Sanggyun; Putrino, David; Ghosh, Soumya; Brown, Emery N (2011). «A Granger Causality Measure for Point Process Models of Ensemble Neural Spiking Activity». PLOS Computational Biology. 7 (3). Bibcode:2011PLSCB...7E1110K. PMC 3063721. PMID 21455283. doi:10.1371/journal.pcbi.1001110

[pmid20202481-27] Bressler, Steven L; Seth, Anil K (2011). «Wiener–Granger Causality: A well established methodology». NeuroImage. 58 (2): 323–9. PMID 20202481. doi:10.1016/j.neuroimage.2010.02.059

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]