Colagem de esquemas

Sejam ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}}$ duas cópias da reta afim sobre um corpo ${\displaystyle k}$. Seja ${\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])}$ o complemento da origem e ${\displaystyle Y_{u}=\{u\neq 0\}}$ definido de forma semelhante. Seja ${\displaystyle Z}$ o esquema obtido colando-se ${\displaystyle X,Y}$ ao longo do isomorfismo ${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$ dado por ${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$; identificamos ${\displaystyle X,Y}$ com os subconjuntos abertos de ${\displaystyle Z}$.^[2] Agora, os anéis afins ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})}$ são ambos anéis de polinômios em uma variável de tal forma que

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]}$ e ${\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]}$

onde os dois anéis são vistos como subanéis do corpo de funções ${\displaystyle k(Z)=k(s)}$. Mas isso significa que ${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{1}}$; porque, por definição, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ é coberta pelas duas cartas afins abertas cujos anéis afins são da forma acima.

Sejam ${\displaystyle X,Y,X_{t},Y_{u}}$ como no exemplo acima. Mas desta vez seja ${\displaystyle Z}$ o esquema obtido colando-se ${\displaystyle X,Y}$ ao longo do isomorfismo ${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$ dado por ${\displaystyle t\leftrightarrow u}$.^[3] Assim, geometricamente, ${\displaystyle Z}$ é obtido identificando-se duas retas paralelas, exceto na origem; isto é, trata-se de uma reta afim com a origem duplicada. (Pode-se mostrar que ${\displaystyle Z}$ não é um esquema separado.) Em contraste, se duas retas são coladas de modo que a origem em uma reta corresponda ao ponto no infinito (ilusório) da outra reta; ou seja, usando o isomorfismo ${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$, então o esquema resultante é, pelo menos visualmente, a reta projetiva ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$.