Curva de Viviani

Em matemática, particularmente geometria, a curva de Viviani, também conhecida como janela de Viviani, é uma curva no espaço em forma de oito, nomeada em homenagem ao matemático italiano Vincenzo Viviani. É a intersecção de uma esfera com um cilindro tangente à esfera e que passa por dois polos (um diâmetro) da esfera.

A projeção da curva de Viviani sobre um plano perpendicular à linha através do ponto de cruzamento e do centro da esfera é a lemniscata de Gerono.^[1]

A curva pode ser obtida pela intersecção de uma esfera de raio ${\displaystyle 2a}$ centrada na origem,

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\,}$

com o cilindro centrado em ${\displaystyle (a,0,0)}$ de raio ${\displaystyle a}$ dado por

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}.\,}$

A curva de intersecção resultante, ${\displaystyle V}$, pode ser parametrizada por ${\displaystyle t}$ para dar a equação paramétrica da curva de Viviani:

${\displaystyle V(t)=\left\langle a(1+\cos(t)),a\sin(t),2a\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\right\rangle .}$

Isto é uma clélia com ${\displaystyle m=1}$, onde ${\displaystyle \theta ={\frac {t-\pi }{2}}}$.