Extensão simples

Na teoria de corpos, uma extensão simples é uma extensão de corpos gerada pela adjunção de um único elemento, chamado de elemento primitivo. Extensões simples são bem compreendidas e podem ser completamente classificadas.^[1][2][3]

O teorema do elemento primitivo fornece uma caracterização das extensões simples finitas.

Uma extensão de corpos ${\displaystyle L/K}$ é chamada de extensão simples se existe um elemento ${\displaystyle \theta }$ em ${\displaystyle L}$ com

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

Isso significa que todo elemento de ${\displaystyle L}$ pode ser expresso como uma fração racional em ${\displaystyle \theta }$, com coeficientes em ${\displaystyle K}$; ou seja, é produzido a partir de ${\displaystyle \theta }$ e de elementos de ${\displaystyle K}$ pelas operações de corpo +, −, •, / . Equivalentemente, ${\displaystyle L}$ é o menor corpo que contém tanto ${\displaystyle K}$ quanto ${\displaystyle \theta }$.

Existem dois tipos diferentes de extensões simples (ver Estrutura de extensões simples abaixo):

1. O elemento ${\displaystyle \theta }$ pode ser transcendente sobre ${\displaystyle K}$, o que significa que não é uma raiz de nenhum polinômio com coeficientes em ${\displaystyle K}$. Neste caso, ${\displaystyle K(\theta )}$ é isomorfo ao corpo de funções racionais ${\displaystyle K(X).}$
2. Caso contrário, ${\displaystyle \theta }$ é algébrico sobre ${\displaystyle K}$; isto é, ${\displaystyle \theta }$ é uma raiz de um polinômio sobre ${\displaystyle K}$. O polinômio mônico ${\displaystyle p(X)}$ de menor grau ${\displaystyle n}$, com ${\displaystyle \theta }$ como raiz, é chamado de polinômio mínimo de ${\displaystyle \theta }$. O seu grau é igual ao grau da extensão de corpos, isto é, à dimensão de ${\displaystyle L}$ visto como um espaço vetorial sobre ${\displaystyle K}$. Neste caso, todo elemento de ${\displaystyle K(\theta )}$ pode ser expresso de forma única como um polinômio em ${\displaystyle \theta }$ de grau menor que ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle K(\theta )}$ é isomorfo ao anel quociente ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle .}$

Em ambos os casos, o elemento ${\displaystyle \theta }$ é chamado de elemento gerador ou elemento primitivo para a extensão; diz-se também que ${\displaystyle L}$ é gerado sobre ${\displaystyle K}$ por ${\displaystyle \theta }$.

Por exemplo, todo corpo finito é uma extensão simples do corpo primo de mesma característica. Mais precisamente, se ${\displaystyle p}$ é um número primo e ${\displaystyle q=p^{n}}$, o corpo ${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$ de ${\displaystyle q}$ elementos é uma extensão simples de grau ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}}$. De fato, ${\displaystyle L}$ é gerado como um corpo por qualquer elemento ${\displaystyle \theta }$ que seja raiz de um polinômio irredutível de grau ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle K[X]}$.^[4][5]

No entanto, no caso de corpos finitos, o termo elemento primitivo é geralmente reservado para uma noção mais forte, um elemento ${\displaystyle \gamma }$ que gera ${\displaystyle L^{\times }=L\setminus \{0\}}$ como um grupo multiplicativo, de modo que todo elemento não nulo de ${\displaystyle L}$ seja uma potência de ${\displaystyle \gamma }$, isto é, seja produzido a partir de ${\displaystyle \gamma }$ usando apenas a operação de grupo • . Para distinguir esses significados, usa-se o termo "gerador" ou elemento primitivo do corpo para o significado mais fraco, reservando "elemento primitivo" ou elemento primitivo do grupo para o significado mais forte.^[6] (Ver Corpo finito#Estrutura multiplicativa e Elemento primitivo (corpo finito)).

Seja ${\displaystyle L}$ uma extensão simples de ${\displaystyle K}$ gerada por ${\displaystyle \theta }$. Para o anel de polinômios ${\displaystyle K[X]}$, uma de suas principais propriedades é o único homomorfismo de anéis

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

Dois casos podem ocorrer:

1. Se ${\displaystyle \varphi }$ é injetivo, ele pode ser estendido de forma injetiva para o corpo de frações ${\displaystyle K(X)}$ de ${\displaystyle K[X]}$. Como ${\displaystyle L}$ é gerado por ${\displaystyle \theta }$, isto implica que ${\displaystyle \varphi }$ é um isomorfismo de ${\displaystyle K(X)}$ sobre ${\displaystyle L}$. Isto implica que todo elemento de ${\displaystyle L}$ é igual a uma fração irredutível de polinômios em ${\displaystyle \theta }$, e que duas dessas frações irredutíveis são iguais se e somente se for possível passar de uma para a outra multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo elemento não nulo de ${\displaystyle K}$.
2. Se ${\displaystyle \varphi }$ não é injetivo, seja ${\displaystyle p(X)}$ um gerador de seu núcleo, que é, portanto, o polinômio mínimo de ${\displaystyle \theta }$. A imagem de ${\displaystyle \varphi }$ é um subanel de ${\displaystyle L}$, e assim um domínio de integridade. Isto implica que ${\displaystyle p}$ é um polinômio irredutível, e consequentemente que o anel quociente ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ é um corpo. Como ${\displaystyle L}$ é gerado por ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \varphi }$ é sobrejetivo, e ${\displaystyle \varphi }$ induz um isomorfismo de ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$ sobre ${\displaystyle L}$. Isto implica que todo elemento de ${\displaystyle L}$ é igual a um único polinômio em ${\displaystyle \theta }$ de grau menor que o grau ${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$. Ou seja, temos uma ${\displaystyle K}$-base de ${\displaystyle L}$ dada por ${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$.

• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ gerada por ${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ gerada por ${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$.
• Qualquer corpo de números algébricos (isto é, uma extensão finita de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) é uma extensão simples ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ para algum ${\displaystyle \theta }$. Por exemplo, ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$ é gerada por ${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$.
• ${\displaystyle F(X)/F}$, um corpo de funções racionais, é gerado pela variável formal ${\displaystyle X}$.

• Matriz companheira para a aplicação de multiplicação em uma extensão de corpos simples

• Roman, Steven (1995). Field Theory. Col: Graduate Texts in Mathematics. 158. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001