Forma de Riemann

Na matemática, uma forma de Riemann na teoria das variedades abelianas e formas modulares, consiste nos seguintes dados:

• Um reticulado ${\displaystyle \Lambda }$ num espaço vetorial complexo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$.
• Uma forma bilinear alternada ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle \Lambda }$ para os inteiros satisfazendo as seguintes relações bilineares de Riemann:

1. a extensão linear real ${\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }:\mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\to \mathbb {R} }$ de ${\displaystyle \alpha }$ satisfaz ${\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }(iv,iw)=\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)}$ para todos ${\displaystyle (v,w)}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}}$;
2. a forma hermitiana associada ${\displaystyle H(v,w)=\alpha _{\mathbb {R} }(iv,w)+i\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)}$ é positiva definida.^[1][2][3][4]

(A forma hermitiana descrita aqui é linear na primeira variável).

As formas de Riemann são importantes pelos seguintes motivos:

• A alternatização da classe de Chern de qualquer fator de automorfia é uma forma de Riemann.
• Reciprocamente, dada qualquer forma de Riemann, podemos construir um fator de automorfia tal que a alternatização de sua classe de Chern seja a forma de Riemann dada.

Além disso, o toro complexo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/\Lambda }$ admite a estrutura de uma variedade abeliana se e somente se existe uma forma bilinear alternada ${\displaystyle \alpha }$ tal que ${\displaystyle (\Lambda ,\alpha )}$ seja uma forma de Riemann.

• Milne, James (1998). «Abelian Varieties». Consultado em 15 de janeiro de 2008 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry, An Introduction. Col: Graduate Texts in Mathematics. 201. New York: [s.n.] ISBN 0-387-98981-1. MR 1745599. doi:10.1007/978-1-4612-1210-2 
• Mumford, David (1970). Abelian Varieties. Col: Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics. 5. London: Oxford University Press. MR 0282985 
• «Abelian function». Encyclopedia of Mathematics 
• «Theta-function». Encyclopedia of Mathematics