Função linear

 Nota: Não confundir com Funcional linear.

Na matemática, o termo função linear refere-se a duas noções distintas, mas relacionadas:^[1]

• No cálculo e áreas afins, uma função linear é uma função cujo gráfico é uma reta, isto é, uma função polinomial de grau zero (um polinômio constante) ou um (um polinômio linear).^[2] Para distinguir tal função linear do outro conceito, o termo função afim é frequentemente utilizado.^[3]
• Na álgebra linear, análise matemática^[4] e análise funcional, uma função linear é um tipo de função entre espaços vetoriais.^[5]

No cálculo, geometria analítica e áreas relacionadas, uma função linear é um polinômio de grau um ou menor, incluindo o polinômio nulo. (Este último é um polinômio sem termos e não é considerado como tendo grau zero.)

Quando a função é de apenas uma variável, ela possui a forma

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

onde a e b são constantes, frequentemente números reais. O gráfico de tal função de uma variável é uma reta não vertical. a é frequentemente referido como o coeficiente angular (ou inclinação) da reta, e b como o coeficiente linear (ou intercepto).

Se a > 0, então o gradiente é positivo e o gráfico inclina-se para cima.

Se a < 0, então o gradiente é negativo e o gráfico inclina-se para baixo.

Para uma função ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$ de qualquer número finito de variáveis, a fórmula geral é

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

e o gráfico é um hiperplano de dimensão k.

Uma função constante também é considerada linear neste contexto, pois é um polinômio de grau zero ou é o polinômio nulo. Seu gráfico, quando há apenas uma variável, é uma reta horizontal.

Neste contexto, uma função que também é uma transformação linear (o outro significado de funções lineares, veja abaixo) pode ser referida como uma função linear homogênea ou uma forma linear. No contexto da álgebra linear, as funções polinomiais de grau 0 ou 1 são as transformações afins de valor escalar.

Na álgebra linear, uma função linear é uma aplicação (mapa) ${\displaystyle f}$ de um espaço vetorial ${\displaystyle \mathbf {V} }$ para um espaço vetorial ${\displaystyle \mathbf {W} }$ (ambos os espaços não são necessariamente diferentes) sobre um mesmo corpo K tal que

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Aqui, a denota uma constante pertencente ao corpo K de escalares (por exemplo, os números reais), e x e y são elementos de ${\displaystyle \mathbf {V} }$, que pode ser o próprio K. Mesmo que o mesmo símbolo ${\displaystyle +}$ seja usado, a operação de adição entre x e y (pertencentes a ${\displaystyle \mathbf {V} }$) não é necessariamente a mesma que a operação de adição entre ${\displaystyle f\left(\mathbf {x} \right)}$ e ${\displaystyle f\left(\mathbf {y} \right)}$ (pertencentes a ${\displaystyle \mathbf {W} }$).

Em outros termos, a função linear preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Alguns autores utilizam "função linear" apenas para transformações lineares que assumem valores no corpo escalar;^[6] estas são mais comumente chamadas de formas lineares.

As "funções lineares" do cálculo qualificam-se como "transformações lineares" quando (e somente quando) f(0, ..., 0) = 0, ou, equivalentemente, quando a constante b é igual a zero no polinômio de primeiro grau mencionado acima. Geometricamente, o gráfico da função deve passar pela origem.

• Aproximação linear
• Função homogênea
• Função linear por partes
• Interpolação linear
• Mínimos quadrados lineares
• Operador linear descontínuo
• Sistema não linear

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• Shores, Thomas S. (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Col: Undergraduate Texts in Mathematics. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-33195-9 
• Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals 7E ed. [S.l.]: Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9 
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", em Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, cap. 50. ISBN 1-584-88510-6