Functor representável

Sejam ${\displaystyle a}$ objeto de um categoria ${\displaystyle D}$ e functor ${\displaystyle S:C\to D}$. Uma seta universal ${\displaystyle u:a\to S(c)}$ de ${\displaystyle a}$ ao functor ${\displaystyle S}$ é um elemento universal ${\displaystyle c\in C,\,u\in \hom _{D}(a,S(c))}$ do functor ${\displaystyle \hom _{D}(a,S(-)):C\to {\mathsf {Set}}}$; noutras palavras, para cada ${\displaystyle c'\in C}$ e seta ${\displaystyle u':a\to S(c')}$, há único ${\displaystyle f:c\to c'}$ tal que ${\displaystyle u'=S(f)\circ u}$: $${\displaystyle {\begin{matrix}a&{\xrightarrow {u}}&S(c)\\&\searrow &\downarrow &\scriptstyle {S(f)}\\\scriptstyle {u'}&&S(c')\end{matrix}}}$$

Dualmente, uma seta universal ${\displaystyle u:S(c)\to a}$ do functor ${\displaystyle S}$ até ${\displaystyle a}$ é um elemento universal ${\displaystyle c\in C,u\in \hom _{D}(S(c),a)}$ do functor ${\displaystyle \hom _{D}(S(-),a):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}$.^[4]