Lema de Jordan

O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos, é utilizado para calcular integrais no plano complexo. É denominado em memória de Camille Jordan.

Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas, Transformada de Laplace Inversa, Transformada de Fourier Inversa, dentre outros.

Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função ${\displaystyle g(z)}$ convenientes.

Por definição:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C_{R}}f(z)\,dz&=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}&\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta \\&=R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.\end{aligned}}}$

Utilizando ${\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}Re^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}}$ e a simetria sin θ = sin(π – θ), temos:

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

De fato o sin θ é concavo neste intervalo θ ∈ [0,π /2], logo, o gráfico sin θ estará acima da linha ${\displaystyle {\frac {2\theta }{\pi }}}$, consequentemente

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

portanto, como ${\displaystyle M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\bigl |}g{\bigl (}Re^{i\theta }{\bigr )}{\bigr |}\to 0\quad {\mbox{quando }}R\to \infty \,}$, temos:

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$

Calcule a seguinte integral:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx}$

Resolução

Seja a função:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)

${\displaystyle \qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\}}$

Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-R}^{R}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+\int _{\Gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

E, por f ser de polo simples

${\displaystyle 2\pi i\operatorname {Res} (f,i)=2\pi i\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=2\pi i\lim _{z\to i}{\frac {1}{z+i}}=2\pi i{\frac {1}{2i}}=\pi }$

Assim,

${\displaystyle \int _{-R}^{R}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+\int _{\Gamma _{R}}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz=\pi }$

Utilizando o lema de jordan, quando R →${\displaystyle \infty }$, temos

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\left|{\frac {1}{1+z^{2}}}\right|=0}$ ,pela substituição z = R e^iθ (lembrando que e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)

Contudo, quando R →${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx+0=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\pi }$

• E. Capela de Oliveira; A. Rodrigues Jr. (1999). Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações. Campinas - SP: Imecc: [s.n.] p. 284p. ISBN 85-87185-02-0  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
• Brown, James W.; Churchill, Ruel V. (2004). Variáveis Complexas e Aplicações 7ª ed. New York: McGraw Hill. p. 262–265. ISBN 0-07-287252-7  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)

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