Modelo paramétrico

Em estatística, um modelo paramétrico, família paramétrica ou modelo de dimensão finita é uma classe particular de modelos estatísticos. Especificamente, um modelo paramétrico é uma família de distribuições de probabilidade que possui um número finito de parâmetros.

  Um modelo estatístico é uma coleção de distribuições de probabilidade em algum espaço amostral. Assumimos que a coleção, 𝒫, é indexada por algum conjunto Θ . O conjunto Θ é chamado de conjunto de parâmetros ou, mais comumente, espaço paramétrico . Para cada θ ∈ Θ, com F_θ o membro correspondente da coleção, temos que F_θ é uma função de distribuição acumulada . Então, um modelo estatístico pode ser escrito como

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

O modelo é um modelo paramétrico se Θ ⊆ ℝ^k para algum inteiro positivo k.

Quando o modelo consiste em distribuições absolutamente contínuas, ele é frequentemente especificado em termos de funções de densidade de probabilidade correspondentes:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

• A família de distribuições de Poisson é parametrizada por um único número λ > 0 :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

onde p_λ é a função de massa de probabilidade . Esta família é uma família exponencial .

• A família normal é parametrizada por θ = (μ, σ), onde μ ∈ ℝ é um parâmetro de localização e σ > 0 é um parâmetro de escala:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Essa família parametrizada é simultaneamente uma família exponencial e uma família de localização-escala .

• A Distribuição de Weibull possui um parâmetro tridimensional θ = (λ, β, μ) :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}},}$

onde ${\displaystyle \beta }$ é o parâmetro de forma, ${\displaystyle \lambda }$ é o parâmetro de escala e ${\displaystyle \mu }$ é o parâmetro de localização .

• O modelo binomial é parametrizado por θ = (n, p), onde n é um número inteiro não negativo e p é uma probabilidade (ou seja, p ≥ 0 e p ≤ 1 ):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.}$

Este exemplo ilustra a definição de um modelo com alguns parâmetros discretos.

Um modelo paramétrico é chamado de identificável se o mapeamento θ ↦ P_θ for injetor, ou seja, não existem dois valores de parâmetro diferentes θ₁ e θ₂ tais que P_θ1 = P_θ2. Em outras palavras, a identificabilidade garante que quaisquer dois valores diferentes do parâmetro sempre levarão a distribuições de probabilidade (modelos) distintas e, consequentemente, a inferências únicas. ^[1]

Os modelos paramétricos são contrastados com os modelos semiparamétricos, semi-não paramétricos e não paramétricos, todos os quais consistem em um conjunto infinito de "parâmetros" para descrição. A distinção entre essas quatro classes é a seguinte:

• Em um modelo "paramétrico", todos os parâmetros estão em espaços paramétricos de dimensão finita;
• Um modelo é "não paramétrico" se todos os parâmetros estiverem em espaços paramétricos de dimensão infinita;
• Um modelo semiparamétrico contém parâmetros de interesse de dimensão finita e parâmetros de incômodo (aqueles que não são o foco direto do teste de hipóteses, mas que precisam ser obrigatoriamente considerados para a validade da análise) de dimensão infinita
• Um modelo "semi-não paramétrico" possui parâmetros desconhecidos de interesse tanto de dimensão finita quanto de dimensão infinita.

Alguns estatísticos argumentam que os conceitos "paramétrico", "não paramétrico" e "semiparamétrico" são ambíguos. ^[2] Também pode-se observar que o conjunto de todas as medidas de probabilidade tem cardinalidade do contínuo e, portanto, é possível parametrizar qualquer modelo por um único número no intervalo (0,1). ^[3] Essa dificuldade pode ser evitada considerando-se apenas modelos paramétricos "suaves".

• Família paramétrica
• Estatísticas paramétricas
• Modelo estatístico
• Especificação do modelo estatístico