Operador adjunto

Em matemática e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.^[1]

O adjunto de um operador ${\displaystyle A}$ é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de ${\displaystyle A}$ (em homenagem a Charles Hermite) e é denotado por ${\displaystyle A^{*}}$ ou ${\displaystyle A^{\dagger }}$ , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.^[2]

${\displaystyle {\color {RedViolet}{\begin{array}{||c|}\hline {\color {Black}{\text{ O conjugado de Hermitiano de um operator na Notação de Bra-ket }}}\\\\{\color {Blue}\langle A^{\dagger }\phi |\psi \rangle =\langle \phi |A\psi \rangle \quad }\\\\\hline \end{array}}}}$^[3]

Suponha que ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ é um espaço de Hilbert, com o produto interno ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$. Considere um operador linear contínuo ${\displaystyle A:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ (isso é o mesmo que um operador linear limitado).

Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único ${\displaystyle A^{\dagger }:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ com a seguinte propriedade:

${\displaystyle \langle x|Ay\rangle =\langle A^{\dagger }x|y\rangle \quad {\mbox{para todo }}x,y\in {\mathcal {H}}.}$

Esse operador ${\displaystyle A^{\dagger }}$ é o adjunto de ${\displaystyle A}$. Isso pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.

Propriedades imediatas:

1. ${\displaystyle A^{**}=A}$ (Involução )
2. Se ${\displaystyle A}$ é inversível, então assim é ${\displaystyle A^{*}}$, com ${\displaystyle {(A^{*})}^{-1}={(A^{-1})}^{*}}$
3. ${\displaystyle {(A+B)}^{*}=A^{*}+B^{*}}$ (aditividade)
4. ${\displaystyle {(\lambda A)}^{*}=\lambda ^{*}A^{*}}$, onde ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ denota o conjugado do número complexo ${\displaystyle \lambda }$
5. ${\displaystyle {(AB)}^{*}=B^{*}A^{*}}$

Se definimos a norma operacional de ${\displaystyle A}$ por

${\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}$

então

${\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op}}$.

Além disso,

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}$

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert ${\displaystyle H}$ juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra ${\displaystyle C^{*}}$.

Seja ${\displaystyle \mathbb {V} ^{n}}$um espaço vetorial finito sobre o corpo complexo e ${\displaystyle |i\rangle ,|j\rangle \in \mathbb {V} ^{n}}$dois vetores ortonormais contidos na base canônica desse espaço vetorial. Para qualquer dois vetores contidos nesse espaço na base canônica ${\displaystyle |a\rangle ,|b\rangle }$teremos que

${\displaystyle \langle a|b\rangle =\left(\langle b|a\rangle \right)^{*}}$.

Assim considere o operador ${\displaystyle \mathbf {D} \subset {\mathcal {L}}\left(\mathbb {V} ^{n}\right)}$(${\displaystyle \mathbf {D} }$ é endomórfico a ${\displaystyle \mathbb {V} ^{n}}$), suas componentes são dadas por

${\displaystyle D_{ij}=\langle i|\mathbf {D} |j\rangle }$

mas note que

${\displaystyle \mathbf {D} |j\rangle =|\mathbf {D} j\rangle }$

portanto

${\displaystyle \langle j|\mathbf {D} ^{\dagger }=\langle \mathbf {D} j|}$

desse modo

${\displaystyle \left(D^{\dagger }\right)_{ij}=\langle i|\mathbf {D} ^{\dagger }|j\rangle =\langle \mathbf {D} i|j\rangle =\langle j|\mathbf {D} i\rangle ^{*}=\langle j|\mathbf {D} |i\rangle ^{*}=\left(D_{ji}\right)^{*}=D_{ji}^{*}}$

portanto o adjunto de um operador representado matricialmente é igual à transposta da sua matriz com os conjugados complexos tomados.

Um operador ${\displaystyle \mathbf {P} }$ que atua num determinado espaço vetorial é dito hermitiano se satisfaz

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\dagger }=\mathbf {P} }$

Um exemplo de operador hermitiano é o operador momento, visto na mecânica quântica. Suas componentes na base do operador posição ${\displaystyle (x,y,z)}$ são encontradas a partir da relação de completeza (estamos supondo que o espaço vetorial onde esses operadores atuam é completo)

$${\displaystyle \langle \Phi |\mathbf {P} ^{\dagger }|\Psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\langle \mathbf {P} \Phi |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle dx'=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(-i\hbar {\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\Phi (x')\right)^{*}\Psi (x')dx'=0+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\Phi ^{*}(x')i\hbar \left(-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')\Psi (x')\right)dx'=\langle \Phi |\mathbf {P} |\Psi \rangle }$$

pois as componentes do operador de derivação não são hermitianas (é anti-hermitiano)

$${\displaystyle D_{x'x}^{*}=\left({\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\right)^{*}=\left(\delta (x'-x){\frac {d}{dx'}}\right)^{*}=-\delta (x-x'){\frac {d}{dx'}}=-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')=-D_{xx'}}$$o fator ${\displaystyle -i}$ torna o operador hermitiano:

${\displaystyle \left(-iD_{x'x}\right)^{*}=\left(-i{\frac {d}{dx'}}\delta (x'-x)\right)^{*}=i\left(-{\frac {d}{dx'}}\delta (x-x')\right)=-iD_{xx'}}$

Como o valor de um observável tem de ser uma grandeza real, os autovalores de qualquer operador que corresponde a um observável, têm de ser reais por si próprios. Esta condição é garantida se o operador apresenta a propriedade especial de "hermiticidade" (nome dado em homenagem ao matemático francês do século XIX, Charles Hermite).^[4]

Uma característica fundamental dos operadores hermitianos reside no espaço vetorial gerado por seus autovetores. Esse espaço possui a propriedade de completude, permitindo que qualquer função que obedeça às mesmas condições de contorno seja expressa como uma combinação linear desses autovetores. Além disso, os autovetores associados a diferentes autovalores são mutuamente ortogonais.

Temos um operador ${\displaystyle K=a+ib}$ , onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são números reais, pela definição temos que o conjugado hermitiano

${\displaystyle \langle \phi |K\psi \rangle =\langle K^{\dagger }\phi |\psi \rangle \quad }$

Substituimos ${\displaystyle K}$ por ${\displaystyle a+ib}$ ,

${\displaystyle \langle (a-ib)\phi |\psi \rangle =\langle \phi |(a+ib)\psi \rangle =(a+ib)\langle \phi |\psi \rangle \quad }$

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.^[5]

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear ${\displaystyle A}$ em um espaço de Hilbert ${\displaystyle H}$ é um operador antilinear ${\displaystyle A^{*}:H\rightarrow H}$ com a propriedade:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\langle x,A^{*}y\rangle }}\quad {\text{para todo }}x,y\in H.}$

Esta Equação

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

é formalmente semelhante à definição de propriedades de pares de functores adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.

Sejam ${\displaystyle X,Y}$ espaços de Banach . Um operador linear ilimitado é uma aplicação linear ${\displaystyle A:D(A)\subset X\longrightarrow Y}$, onde ${\displaystyle D(A)}$ é um subespaço de ${\displaystyle X}$, chamado domínio de ${\displaystyle A}$. Dizemos que o operador ${\displaystyle A}$ é densamente definido quando ${\displaystyle {\overline {D(A)}}=X}$.

Dado um operador linear ilimitado ${\displaystyle A:D(A)\subset X\longrightarrow Y}$ densamente definido, o seu Operador Adjunto é um operador linear ilimitado ${\displaystyle A^{\ast }:D(A^{\ast })\subset Y^{\ast }\longrightarrow X^{\ast }}$ que definiremos a seguir.

Primeiramente, definimos o domínio de ${\displaystyle A^{\ast }}$ como sendo o conjunto formado pelos funcionais ${\displaystyle \varphi \in Y^{\ast }}$ tais que ${\displaystyle \varphi \circ A}$ são contínuos, em outras palavras

${\displaystyle D(A^{\ast })=\{\varphi \in Y^{\ast };\ \varphi \circ A\in D(A)^{\ast }\}.}$

Note que, se ${\displaystyle \varphi \in D(A^{\ast })}$, então ${\displaystyle \exists \,C>0}$ tal que ${\displaystyle |\varphi (Ax)|\leq C\|x\|_{X},\,\forall x\in D(A).}$

Agora, podemos definir ${\displaystyle A^{\ast }\varphi }$ em ${\displaystyle X^{\ast }}$. De fato, dado ${\displaystyle \varphi \in D(A^{\ast })}$, como ${\displaystyle D(A)}$ é denso em ${\displaystyle X}$, existe uma única ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\in X^{\ast }}$ que estende ${\displaystyle \varphi }$ ^[6]. Assim, definimos ${\displaystyle A^{\ast }\varphi ={\tilde {\varphi }}}$. Em particular, temos a seguinte relação fundamental entre ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle A^{\ast }}$:

${\displaystyle A^{\ast }\varphi (x)=\varphi (Ax),\ \forall x\in D(A),\ \forall \varphi \in D(A^{\ast }).}$

Na notação par dualidade, escrevemos

${\displaystyle \langle A^{\ast }\varphi ,x\rangle _{X^{\ast },X}=\langle \varphi ,Ax\rangle _{Y^{\ast },Y},\ \forall x\in D(A),\ \forall \varphi \in D(A^{\ast }).}$

• Brézis, Haïm (2010). Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. doi:10.1007/978-0-387-70914-7 

• Kesavan, Srinivasan (2015). Topics in Functional Analysis and Applications second ed. [S.l.]: New Age International Publishers. ISBN 978-81-224-3797-3 

• Kreyszig, Erwing (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. [S.l.]: John Wiley & Sons 
• Hollauer, Eduardo (2007). Química Quântica. LTC