Operador bilinear

Sejam ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ e ${\displaystyle X}$ três espaços vetoriais sobre o mesmo corpo base ${\displaystyle F}$. Um mapa bilinear é uma função

${\displaystyle B:V\times W\to X}$

tal que, para todo ${\displaystyle w\in W}$, o mapa ${\displaystyle B_{w}}$

${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$

é um mapa linear de ${\displaystyle V}$ para ${\displaystyle X}$, e para todo ${\displaystyle v\in V}$, o mapa ${\displaystyle B_{v}}$

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

é um mapa linear de ${\displaystyle W}$ para ${\displaystyle X}$. Em outras palavras, quando mantemos a segunda entrada do mapa bilinear fixa enquanto deixamos a primeira entrada variar, produzindo ${\displaystyle B_{w}}$, o resultado é um operador linear, e o mesmo vale para quando mantemos a primeira entrada fixa.

Tal mapa ${\displaystyle B}$ satisfaz as seguintes propriedades:

• Para qualquer ${\displaystyle \lambda \in F}$, ${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)}$.
• O mapa ${\displaystyle B}$ é aditivo em ambos os componentes: se ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ e ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W}$, então ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ e ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})}$.

Se ${\displaystyle V=W}$ e temos ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ para todos os ${\displaystyle v,w\in V}$, então dizemos que ${\displaystyle B}$ é simétrico. Se ${\displaystyle X}$ é o corpo base ${\displaystyle F}$, então o mapa é chamado de forma bilinear, as quais são muito estudadas (por exemplo: produto escalar, produto interno e forma quadrática).

A definição funciona sem nenhuma alteração se, em vez de espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle F}$, usarmos módulos sobre um anel comutativo ${\displaystyle R}$. Isso se generaliza para funções ${\displaystyle n}$-árias, onde o termo apropriado é multilinear.

Para anéis não comutativos ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle S}$, um ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda ${\displaystyle M}$ e um ${\displaystyle S}$-módulo à direita ${\displaystyle N}$, um mapa bilinear é um mapa ${\displaystyle B:M\times N\to T}$ com ${\displaystyle T}$ sendo um ${\displaystyle (R,S)}$-bimódulo, e para o qual para qualquer ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle m\mapsto B(m,n)}$ é um homomorfismo de ${\displaystyle R}$-módulo, e para qualquer ${\displaystyle m}$ em ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle n\mapsto B(m,n)}$ é um homomorfismo de ${\displaystyle S}$-módulo. Isso satisfaz:

${\displaystyle B(r\cdot m,n)=r\cdot B(m,n)}$

${\displaystyle B(m,n\cdot s)=B(m,n)\cdot s}$

para todos os ${\displaystyle m}$ em ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle r}$ em ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle s}$ em ${\displaystyle S}$, além de ${\displaystyle B}$ ser aditivo em cada argumento.

Muitos mapas bilineares que ocorrem na prática são separadamente contínuos, mas nem todos são contínuos. Listamos aqui as condições suficientes para que um mapa bilinear separadamente contínuo seja contínuo.

• Se ${\displaystyle X}$ é um espaço de Baire e ${\displaystyle Y}$ é metrizável, então todo mapa bilinear separadamente contínuo ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$ é contínuo.^[1]
• Se ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ são os duais fortes de espaços de Fréchet, então todo mapa bilinear separadamente contínuo ${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$ é contínuo.^[1]
• Se um mapa bilinear é contínuo em (0, 0), então ele é contínuo em toda parte.^[2]

Sejam ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ espaços localmente convexos de Hausdorff e seja ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$ o mapa de composição definido por ${\displaystyle C(u,v):=v\circ u}$. Em geral, o mapa bilinear ${\displaystyle C}$ não é contínuo (não importando quais topologias sejam dadas aos espaços de mapas lineares). Temos, no entanto, os seguintes resultados:

Dê a todos os três espaços de mapas lineares uma das seguintes topologias:

1. dê a todos os três a topologia de convergência limitada;
2. dê a todos os três a topologia de convergência compacta;
3. dê a todos os três a topologia de convergência pontual.

• Se ${\displaystyle E}$ é um subconjunto equicontínuo de ${\displaystyle L(Y;Z)}$, então a restrição ${\displaystyle \left.C\right|_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$ é contínua para todas as três topologias.^[1]
• Se ${\displaystyle Y}$ é um espaço tonelado, então para toda sequência ${\displaystyle (u_{i})_{i=1}^{\infty }}$ convergindo para ${\displaystyle u}$ em ${\displaystyle L(X;Y)}$ e toda sequência ${\displaystyle (v_{i})_{i=1}^{\infty }}$ convergindo para ${\displaystyle v}$ em ${\displaystyle L(Y;Z)}$, a sequência ${\displaystyle (v_{i}\circ u_{i})_{i=1}^{\infty }}$ converge para ${\displaystyle v\circ u}$ em ${\displaystyle L(Y;Z)}$.^[1]