Problema de empilhamento de blocos

Na estática, o problema de empilhamento de blocos (às vezes conhecido como A Torre Inclinada de Lire (Johnson 1955), também como o problema de empilhamento de livros, escadaria harmônica,^[1] ou uma série de outros termos semelhantes) é um quebra-cabeça relativo ao empilhamento de blocos na borda de uma mesa.

O problema de empilhamento de blocos é o seguinte quebra-cabeça:

Coloque ${\displaystyle N}$ blocos retangulares rígidos e idênticos em uma pilha estável na borda de uma mesa de tal forma a maximizar o balanço (avanço sobre a borda).

Paterson et al. (2007) fornecem uma longa lista de referências sobre este problema, remontando a textos de mecânica de meados do século XIX.

A fórmula acima para o balanço máximo de ${\displaystyle n}$ blocos, cada um com comprimento ${\displaystyle l}$ e massa ${\displaystyle m}$, empilhados um por nível, pode ser provada por indução considerando os torques nos blocos em relação à borda da mesa onde eles estão suspensos. Os blocos podem ser modelados como massas pontuais localizadas no centro de cada bloco, assumindo densidade de massa uniforme. No caso base (${\displaystyle n=1}$), o centro de massa do bloco fica exatamente acima da borda da mesa, o que significa um balanço de ${\displaystyle l/2}$. Para ${\displaystyle k}$ blocos, o centro de massa do sistema de ${\displaystyle k}$ blocos deve ficar acima da borda da mesa, e o centro de massa dos ${\displaystyle k-1}$ blocos superiores deve ficar acima da borda do primeiro para haver equilíbrio estático.^[4] Se o ${\displaystyle k}$-ésimo bloco se projeta além do ${\displaystyle (k-1)}$-ésimo em ${\displaystyle l/2}$ e o balanço do primeiro é ${\displaystyle x}$,^[5]

${\displaystyle (k-1)mgx=(l/2-x)mg\implies x=l/2k,}$

onde ${\displaystyle g}$ denota o campo gravitacional. Se os ${\displaystyle k-1}$ blocos superiores se projetam em relação ao seu centro de massa por ${\displaystyle y}$, então, assumindo a hipótese indutiva, o balanço máximo fora da mesa é:

${\displaystyle y+{\frac {l}{2k}}=\sum _{i=1}^{k}{l/2i}\implies y=\sum _{i=1}^{k-1}{l/2i}.}$

Para ${\displaystyle k+1}$ blocos, ${\displaystyle y}$ denota o quanto os ${\displaystyle k}$ blocos superiores se projetam em relação ao seu centro de massa ${\displaystyle (y=\sum _{i=1}^{k}l/2i)}$, e ${\displaystyle x={\frac {l}{2(k+1)}}}$. Então, o balanço máximo seria:

${\displaystyle {\frac {l}{2(k+1)}}+\sum _{i=1}^{k}l/2i=\sum _{i=1}^{k+1}l/2i.}$

Hall (2005) discute este problema, mostra que ele é robusto a não idealizações como cantos de blocos arredondados e precisão finita no posicionamento dos blocos, e introduz várias variantes, incluindo forças de atrito não nulas entre blocos adjacentes.

• Hall, J. F. (2005). «Fun with stacking blocks». American Journal of Physics. 73 (12): 1107–1116. Bibcode:2005AmJPh..73.1107H. doi:10.1119/1.2074007 
• Johnson, Paul B. (abril de 1955). «Leaning Tower of Lire». American Journal of Physics. 23 (4). 240 páginas. Bibcode:1955AmJPh..23..240J. doi:10.1119/1.1933957 
• Paterson, Mike; Peres, Yuval; Thorup, Mikkel; Winkler, Peter; Zwick, Uri (2007). «Maximum overhang». arXiv:0707.0093 [math.HO] 

• Weisstein, Eric W. «Book Stacking Problem». MathWorld (em inglês) 
• «Building an Infinite Bridge». PBS Infinite Series. 4 de maio de 2017. Consultado em 3 de setembro de 2018