Problemas de Landau

O Teorema de Vinográdov demostra a conjectura fraca de Goldbach para os n suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à hipótese generalizada de Riemann.^[1]Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo n fora do intervalo ${\displaystyle (10^{20},e^{3100})}$^[1][2]

O teorema de Chen demostra que para todos os n suficientemente grandes, ${\displaystyle 2n=p+q}$ onde p é primo e q é primo ou semiprimo. Montgomery e Vaughan demostraram que o conjunto excepcional dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem densidade zero.^[3]

Goldston, Pintz e Yıldırım demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:

${\displaystyle \liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$^[4]

Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobreconjetura de Elliott-Halberstam, uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos p tais que ${\displaystyle \pi (p+20)-\pi (p)\geq 1}$. Onde ${\displaystyle \pi (x)}$ é a função de contagem de números primos. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.^[5]

Chen demonstrou que existem infinitos primos p ( que posteriormente ficaram conhecidos como primos de Chen ) tais que p + 2 é primo ou semiprimo.

É suficiente mostrar que cada número primo p, a diferença com o próximo primo é menor que ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10¹⁸.^[6] Um contra exemplo próximo a 10¹⁸ requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.

Um resultado de Ingham mostra que existe um número primo entre ${\displaystyle n^{3}}$ e ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ para cada n suficientemente grande..^[7]

O teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que há infinitos números primos da forma ${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$. Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma ${\displaystyle n^{2}+1}$ com no máximo dois fatores primos.^[8]