Radical de Jacobson

No caso comutativo, o radical de Jacobson de um anel comutativo R é definido como^[1] a interseção de todos os ideais maximais ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Se denotarmos por ${\displaystyle \mathrm {Spm} \ R}$ o conjunto de todos os ideais maximais em R, então

${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\mathrm {Spm} \ R}{\mathfrak {m}}.}$

Esta definição pode ser usada para cálculos explícitos em uma série de casos simples, como em anéis locais (R, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$), que possuem um único ideal maximal, anéis artinianos e produtos destes. Veja a seção de exemplos para cálculos explícitos.

Para um anel geral com unidade ${\displaystyle R}$, o radical de Jacobson ${\displaystyle J(R)}$ é definido como o ideal de todos os elementos ${\displaystyle r\in R}$ tais que ${\displaystyle rM=0}$ sempre que ${\displaystyle M}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo simples. Isto é, $${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ para todo }}M{\text{ simples}}\}.}$$ Isso é equivalente à definição no caso comutativo para um anel comutativo ${\displaystyle R}$, porque os módulos simples sobre um anel comutativo são da forma ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ para algum ideal maximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ de ${\displaystyle R}$, e os anuladores de ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ em ${\displaystyle R}$ são precisamente os elementos de ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, ou seja, ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(R/{\mathfrak {m}})={\mathfrak {m}}}$.

Embora Jacobson tenha introduzido originalmente seu radical como uma técnica para construir uma teoria de radicais para anéis arbitrários, uma das razões motivadoras pelas quais o radical de Jacobson é considerado no caso comutativo é o seu aparecimento no Lema de Nakayama. Este lema é uma ferramenta técnica para estudar módulos finitamente gerados sobre anéis comutativos que possui uma interpretação geométrica fácil: Se tivermos um fibrado vetorial E → X sobre um espaço topológico X, e escolhermos um ponto p ∈ X, então qualquer base de E|_p pode ser estendida para uma base de seções de E|_U → U para alguma vizinhança p ∈ U ⊆ X.

Outra aplicação ocorre no caso de anéis comutativos finitamente gerados da forma ${\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}$ para algum anel base k (como um corpo, ou o anel dos inteiros). Neste caso, o nilradical e o radical de Jacobson coincidem. Isso significa que poderíamos interpretar o radical de Jacobson como uma medida de quão distante o ideal I que define o anel R está de definir o anel de funções sobre uma variedade algébrica devido ao teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz). Isso ocorre porque as variedades algébricas não podem ter um anel de funções com infinitesimais: essa é uma estrutura que só é considerada na teoria de esquemas.

O radical de Jacobson de um anel possui várias caracterizações internas e externas. As seguintes equivalências aparecem em muitos textos de álgebra não comutativa, como Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B e Lam 2001, Ch 2.

As seguintes são caracterizações equivalentes do radical de Jacobson em anéis com unidade (caracterizações para anéis sem unidade são dadas logo a seguir):

• J(R) é igual à interseção de todos os ideais maximais à direita do anel. A equivalência vem do fato de que para todos os ideais maximais à direita M, R / M é um R-módulo à direita simples, e que de fato todos os R-módulos à direita simples são isomorfos a um deste tipo através do mapa de R para S dado por r ↦ xr para qualquer gerador x de S. Também é verdade que J(R) é igual à interseção de todos os ideais maximais à esquerda dentro do anel.^[2] Estas caracterizações são internas ao anel, pois só é necessário encontrar os ideais maximais à direita do anel. Por exemplo, se um anel for local e possuir um único ideal maximal à direita, então este único ideal maximal à direita é exatamente J(R). Ideais maximais são, em certo sentido, mais fáceis de procurar do que anuladores de módulos. Esta caracterização é deficiente, no entanto, porque não se mostra útil ao trabalhar computacionalmente com J(R). A simetria esquerda-direita dessas duas definições é notável e tem várias consequências interessantes.^[2][3] Essa simetria contrasta com a falta de simetria nos soclos de R, pois pode acontecer que soc(R_R) não seja igual a soc(_RR). Se R for um anel não comutativo, J(R) não é necessariamente igual à interseção de todos os ideais maximais bilaterais de R. Por exemplo, se V for uma soma direta enumerável de cópias de um corpo k e R = End(V) (o anel de endomorfismos de V como um k-módulo), então J(R) = 0 porque sabe-se que R é regular de von Neumann, mas existe exatamente um ideal maximal bilateral em R que consiste em endomorfismos com imagem de dimensão finita.^[4]
• J(R) é igual à soma de todos os ideais à direita supérfluos (ou simetricamente, a soma de todos os ideais à esquerda supérfluos) de R. Comparando isso com a definição anterior, a soma de ideais à direita supérfluos é igual à interseção de ideais maximais à direita. Esse fenômeno reflete-se dualmente para o soclo à direita de R; soc(R_R) é simultaneamente a soma dos ideais minimais à direita e a interseção dos ideais à direita essenciais. Na verdade, essas duas relações valem para radicais e soclos de módulos em geral.
• Como definido na introdução, J(R) é igual à interseção de todos os anuladores de R-módulos à direita simples, no entanto, também é verdade que é a interseção de anuladores de módulos à esquerda simples. Um ideal que é o anulador de um módulo simples é conhecido como um ideal primitivo, e portanto, uma reformulação disto afirma que o radical de Jacobson é a interseção de todos os ideais primitivos. Esta caracterização é útil no estudo de módulos sobre anéis. Por exemplo, se U é um R-módulo à direita, e V é um submódulo maximal de U, U · J(R) está contido em V, onde U · J(R) denota todos os produtos de elementos de J(R) (os "escalares") com elementos em U, à direita. Isso decorre do fato de que o módulo quociente U / V é simples e, portanto, anulado por J(R).
• J(R) é o único ideal à direita de R maximal com a propriedade de que todo elemento é quasirregular à direita^[5][6] (ou equivalentemente quasirregular à esquerda^[2]). Esta caracterização do radical de Jacobson é útil tanto computacionalmente quanto para auxiliar a intuição. Além disso, essa caracterização é útil no estudo de módulos sobre um anel. O Lema de Nakayama é talvez a instância mais conhecida disto. Embora todo elemento de J(R) seja necessariamente quasirregular, nem todo elemento quasirregular é necessariamente um membro de J(R).^[6]
• Embora nem todo elemento quasirregular esteja em J(R), pode-se mostrar que y está em J(R) se e somente se xy for quasirregular à esquerda para todo x em R.^[7]
• J(R) é o conjunto de elementos x em R tais que todo elemento de 1 + RxR é uma unidade: J(R) = {x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R^×}. De fato, y ∈ R está no radical de Jacobson se e somente se 1 + xy for invertível para qualquer x ∈ R, se e somente se 1 + yx for invertível para qualquer x ∈ R. Isso significa que xy e yx se comportam de forma semelhante a um elemento nilpotente z com zⁿ⁺¹ = 0 e (1 + z)⁻¹ = 1 − z + z² − ... ± zⁿ.

Para anéis sem unidade é possível ter R = J(R); no entanto, a equação J(R / J(R)) = {0} ainda é válida. As seguintes são caracterizações equivalentes de J(R) para anéis sem unidade:^[8]

• A noção de quasirregularidade à esquerda pode ser generalizada da seguinte forma. Chame um elemento a em R de quasirregular generalizado à esquerda se existir c em R tal que c + a − ca = 0. Então J(R) consiste em cada elemento a para o qual ra é quasirregular generalizado à esquerda para todo r em R. Pode ser verificado que esta definição coincide com a definição quasirregular anterior para anéis com unidade.
• Para um anel sem unidade, a definição de um módulo à esquerda simples M é alterada adicionando a condição de que R ⋅ M ≠ 0. Com esse entendimento, J(R) pode ser definido como a interseção de todos os anuladores de R-módulos à esquerda simples, ou apenas R se não existirem R-módulos à esquerda simples. Anéis sem unidade sem módulos simples de fato existem, caso em que R = J(R), e o anel é chamado de anel radical. Ao usar a caracterização quasirregular generalizada do radical, fica claro que se encontrarmos um anel com J(R) diferente de zero, então J(R) é um anel radical quando considerado como um anel sem unidade.

• Para o anel dos inteiros Z, seu radical de Jacobson é o ideal nulo, de modo que J(Z) = (0), porque é dado pela interseção de todo ideal gerado por um número primo (p). Uma vez que (p₁) ∩ (p₂) = (p₁ ⋅ p₂), e estamos tomando uma interseção infinita sem elementos comuns além de 0 entre todos os ideais maximais, temos esse resultado.
• Para um anel local (R, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$) o radical de Jacobson é simplesmente J(R) = ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Este é um caso importante devido ao seu uso na aplicação do Lema de Nakayama. Em particular, isso implica que se tivermos um fibrado vetorial algébrico E → X sobre um esquema ou variedade algébrica X, e fixarmos uma base de E|_p para algum ponto p ∈ X, então essa base se eleva a um conjunto de geradores para todas as seções <span style="white-space:nowrap;_U → U">E para alguma vizinhança U de p.
• Se k é um corpo e R = k[[X₁, ..., X_n]] é um anel de séries de potências formais, então J(R) consiste naquelas séries de potências cujo termo constante é zero, isto é, as séries de potências no ideal (X₁, ..., X_n).
• No caso de anéis artinianos, como C[t₁, t₂]/(t₁⁴, t₁²t₂², t₂⁹), o radical de Jacobson é (t₁, t₂).
• O exemplo anterior pode ser estendido para o anel R = C[t₂, t₃, ...]/(t₂², t₃³, ...), dando J(R) = (t₂, t₃, ...).
• O radical de Jacobson do anel Z/12Z é 6Z/12Z, que é a interseção dos ideais maximais 2Z/12Z e 3Z/12Z.
• Considere o anel C[t] ⊗_C C[x₁, x₂]_{x1²+x2²−1}, onde a segunda parte é a localização de C[x₁, x₂] pelo ideal primo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ = (x₁² + x₂² − 1). Então, o radical de Jacobson é trivial porque os ideais maximais são gerados por um elemento da forma (t − z) ⊗ (x₁² + x₂² − 1) para z ∈ C.

• Anéis para os quais J(R) é {0} são chamados de anéis semiprimitivos, ou às vezes "anéis semissimples de Jacobson". O radical de Jacobson de qualquer corpo, de qualquer anel regular de von Neumann e de qualquer anel primitivo à esquerda ou à direita é {0}.
• Se K é um corpo e R é o anel de todas as matrizes triangulares superiores n-por-n com entradas em K, então J(R) consiste em todas as matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal principal.
• Comece com uma aljava (quiver) finita e acíclica Γ e um corpo K e considere a álgebra de aljava K Γ. O radical de Jacobson deste anel é gerado por todos os caminhos em Γ de comprimento ≥ 1.
• O radical de Jacobson de uma C*-álgebra é {0}. Isto decorre do Teorema de Gelfand-Naimark e do fato de que, para uma C*-álgebra, uma *-representação topologicamente irredutível sobre um espaço de Hilbert é algebricamente irredutível, de modo que seu núcleo seja um ideal primitivo no sentido puramente algébrico (veja Espectro de uma C*-álgebra).