Sistema causal

Em Sistema e Sinais, um sistema causal (também conhecido como sistema físico ou sistema não antecipativo) é um sistema onde a saída depende das entradas passadas e atuais, mas não de entradas futuras. Assim, se um sistema tem como entrada o sinal $x(t)$ e como saída o sinal $y(t)$ o valor de $y(t_{0})$ só pode depender de $x(t)$ para valores de $t\leq t_{0}$ .^[1]^[2]

A ideia de que a saída de uma função em qualquer instante de tempo depende apenas dos valores passados e presentes da entrada é definida pela propriedade comumente referida como causalidade. Um sistema que tem alguma dependência de valores de entrada do futuro (além da possível dependência de valores de entrada passados ou atuais) é denominado um sistema não causal ou sistema acausal, e um sistema que depende exclusivamente de valores de entrada futuros é um sistema anticausal. Note que alguns autores definem um sistema anticausal como aquele que depende exclusivamente de valores de entrada futuros e presentes ou, mais simplesmente, como um sistema que não depende de valores de entrada passados. ^[3]

Classicamente, a natureza ou realidade física tem sido considerada um sistema causal. A física que envolve a relatividade restrita ou a relatividade geral exige definições mais cuidadosas de causalidade.

A causalidade dos sistemas também desempenha um papel importante no processamento de sinais, onde os sistemas ou filtros que precisam atuar em tempo real são projetados para que sejam causais, às vezes alterando uma formulação não causal de modo que ela se torne realizável.

No caso particular de sistemas lineares e invariantes no tempo , a condição de causalidade pode ser expressa diretamente em termos da resposta ao impulso $h(t)$ : o sistema é causal se e somente se $h(t)=0$ para $t<0$ ^[2].

Definições matemáticas

Definição 1: Um sistema que mapeia $x$ em $y$ é causal se e somente se, para qualquer par de sinais de entrada $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ e qualquer escolha de $t_{0}$ , tal que

x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},

as saídas correspondentes satisfaçam

y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.

Definição 2: Suponha que $h(t)$ seja a resposta ao impulso de qualquer sistema $H$ descrito por uma equação diferencial linear de coeficientes constantes. O sistema $H$ é causal se e somente se

h(t)=0,\quad \forall \ t<0

caso contrário, ele é não causal.

Exemplos

Os seguintes exemplos são para sistemas com uma entrada $x$ e saída $y$ .

Exemplos de sistemas causais

Sistema sem memória

y\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)

Sistema com memória

y\left(t\right)=x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)-x\left(t-\tau \right)

Filtro autorregressivo

y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau

Exemplos de sistemas não causais (acausais)

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau

Média móvel central

y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}

Exemplos de sistemas anticausais

y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau

Look-ahead (antecipação)

y_{n}=x_{n+1}

Exemplos adicionais de sistemas causais

Sistema Linear Invariante no Tempo (LIT)

y(t)=\int _{-\infty }^{t}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau

Filtro de média móvel

y[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x[n-k]

Exemplos adicionais de sistemas não causais (acausais)

Filtro de suavização

y(t)={\frac {1}{T}}\int _{t-T/2}^{t+T/2}x(\tau )\,d\tau

Filtro passa-baixas ideal

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\mathrm {sinc} (t-\tau )\,d\tau

Exemplos adicionais de sistemas anticausais

Dependência de entrada futura

y(t)=\int _{t}^{\infty }x(\tau )\,d\tau

Ver também

Referências

↑ Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (15 de maio de 2012). Processamento em tempo discreto de sinais. [S.l.]: Pearson. pp. 14–15. ISBN 978-85-8143-102-4 |acessodata= requer |url= (ajuda)
1 2 Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, S. Hamid (2010). Sinais e sistemas. [S.l.]: Pearson. pp. 67–68. ISBN 978-85-7605-504-4 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ Karimi, K.; Hamilton, H.J. (2011). «Generation and Interpretation of Temporal Decision Rules». International Journal of Computer Information Systems and Industrial Management Applications. 3. arXiv:1004.3334

[1] Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W. (15 de maio de 2012). Processamento em tempo discreto de sinais. [S.l.]: Pearson. pp. 14–15. ISBN 978-85-8143-102-4 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[:0-2] 1 2 Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, S. Hamid (2010). Sinais e sistemas. [S.l.]: Pearson. pp. 67–68. ISBN 978-85-7605-504-4 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[3] Karimi, K.; Hamilton, H.J. (2011). «Generation and Interpretation of Temporal Decision Rules». International Journal of Computer Information Systems and Industrial Management Applications. 3. arXiv:1004.3334

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