Teorema de Euclides-Euler

O teorema de Euclides-Euler é um teorema na teoria dos números que relaciona números perfeitos com primos de Mersenne: um número par $N$ é perfeito se e somente se apresenta a forma $2 p -1 (2 p - 1)$ , em que $2 p - 1$ é um número primo. O teorema foi nomeado em homenagem à Euclides e Leonhard Euler, que provaram, respectivamente, o "se" e o "somente se".

Foi conjecturado que há infinitos primos de Mersenne. Apesar de que a validade dessa conjectura nunca tenha sido provada, é equivalente, pelo teorema de Euclides-Euler, a conjectura que alega a existência de infinitos números perfeitos pares. Contudo, também é desconhecido a existência de um único número perfeito ímpar.^[1]

Conceitos e exemplos

A soma dos divisores próprios de seis é seis, o que o caracteriza como um número perfeito

Um número perfeito é um número natural que é igual a soma de seus divisores próprios. Por exemplo, o número 6 é igual a soma de seus divisores 1, 2 e 3; logo, é perfeito.^[2]^[3]

Já um número primo de Mersenne $M p$ é um número primo uma unidade menor que uma potência de dois, isto é, $M p = 2 p - 1$ . Para $M p$ ser primo, $p$ precisa também ser primo. Porém, nem todo $p$ primo origina um primo de Mersenne.^[2] Por exemplo, $23 - 1 = 7$ , que é primo de Mersenne, mas $211 - 1 = 2047$ não é, pois $2047 = 23 \times 89$ .

O teorema Euclides-Euler estabelece que um numero natural par é perfeito se, e somente se, apresentar a forma $2 p -1 M p$ , com $M p$ como um primo de Mersenne.^[1] Assim, o número perfeito 6 vem de $p=2$ , assim $2 2 -1 M 2$ , isto é, $2^{1}\times (2^{2}-1)=2\times 3=6$ .

História

Euclides provou que $2^{p-1}(2^{p}-1)$ é um número perfeito sempre que $2^{p}-1$ é par na seção de teoria dos números de Os Elementos. Euclides expressa os resultados ao analisar a tese de que uma série geométrica finita começando em 1 e com razão 2 tem a soma $q$ , sendo $q$ um número primo, então esta soma multiplicada pelo último termo $t$ da série é um perfeito.^[4]

Expressada nesses termos, a soma $q$ de uma série finita é o primo de Mersenne $2^{p}-1$ , e o último termo $t$ é a potência de dois $2^{p-1}$ . Euclides, então, prova que $qt$ é perfeito ao observar que a série geométrica de razão 2, com $q$ como o primeiro termo e o mesmo número de termos da outra série, é proporcional a série original. Logo, como a soma da série original é $q=2t-1$ , a segunda série apresenta a soma $q(2t-1)=2qt-q$ . As duas séries somadas dão $2qt$ , duas vezes os suposto número perfeito. Contudo, essas duas séries são disjuntas uma da outra e, por $q$ ser um número primo pela hipótese, compreendem todos os divisores de $qt$ . Como $qt$ tem divisores que somam $2qt$ , a soma dos divisores próprios é exatamente $qt$ , mostrando que ele é perfeito.^[4]

Um milênio após Euclides, Alhazém conjecturou que todo número perfeito seria da forma $2^{p-1}(2^{p}-1)$ , com $2^{p}-1$ sendo primo, mas não conseguiu provar tal resultado.^[5] Foi somente no séxulo XVIII, mais de dois milênios após Euclides,^[6] que Leonhard Euler provou que a fórmula $2^{p-1}(2^{p}-1)$ apresentaria todos os números perfeitos.^[1]^[7] Além disso, estabeleceu-se uma relação entre os números perfeitos e os primos de Mersenne. Cada primo de Mersenne gera um número perfeito para, e vice-versa. Após a prova de Euclides do teorema Euclides-Euler, outros matemáticos publicaram diferentes provas, incluindo Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Wayne L. McDaniel, John Knopfmacher e Leonard Eugene Dickson. Este último, em particular, é comumente utilizado em livros didáticos.^[8]

O teorema foi incluído em uma lista na internet de "melhores 100 teoremas matemáticos", de 1999, que posteriormente foi utilizado como um teste benchmark de Freek Wiedjik.^[9]

Prova

A prova de Euclides é curta e depende do fato de que a função da soma dos divisores, denominada por $\sigma$ , seja multiplicativa, isto é, se $a$ e $b$ são primos entre si, então $\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$ . Para essa fórmula ser válida, a soma dos divisores de um número deve incluir ele mesmo, não apenas os divisores próprios. Então, o número é perfeito se, e somente se, a soma dos divisores for o dobro de seu valor.^[1]

Todo primo de Mersenne gera um número perfeito par

Quando $2^{p}-1$ é primo, $\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1))$ . Os divisores de $2^{p-1}$ são $1,2,4,8,...,2^{p-1}$ . A soma dos divisores é uma série geométrica cuja soma é $2^{p}-1$ . Como $2^{p}-1$ é primo, os únicos divisores dele são $1$ e ele mesmo, logo, a soma de seus divisores é $2^{p}$ . Assim,

$\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1))=(2^{p}-1)(2^{0})=2(2^{p-1}(2^{p}-1)$ .

Portanto, $2^{p-1}(2^{p}-1)$ é perfeito.^[10]^[11]^[12]

Todo número perfeito par é gerado por um primo de Mersenne

Na outra direção, suponha um número perfeito par parcialmente fatorado como $2^{k}x$ , sendo $x$ um número ímpar. Para $2^{k}x$ ser perfeito, a soma dos divisores deve ser o dobro de seu valor:

$2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x)$ .

O fator ímpar $2^{k+1}-1$ do lado direito da sentença acima deve ser igual ou maior que 3 e deve também dividir $x$ , que é o único fator ímpar do lado esquerdo. Logo, $x/(2^{k+1}-1)$ é um divisor próprio de $x$ . Dividindo os dois lados da sentença pelo fator comum $2^{k+1}-1$ e levando em conta os divisores conhecidos de $x$ como o próprio $x$ e $x/(2^{k+1}-1)$ , temos:

$2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)=\sigma (x)=x+x/(2^{k+1}-1)+$ outros divisores $=2^{k+1}x/(2^{k+1}-1)+$ outros divisores.

Para a igualdade ser verdadeira, não pode haver outros divisores. Assim, $x/(2^{k+1}-1)$ deve ser 1. e $x$ deve ser um número primo da forma $2^{k+1}-1$ .^[10]^[11]^[12]

Referências

1 2 3 4 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. [S.l.]: Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. p. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8
1 2 Gomes, Alacyr J.; Costa, Eudes A. da; Santos, Ronaldo A. dos (setembro de 2008). «Números Perfeitos e Primos de Mersenne» (PDF). IME - UFG. Revista da Olimpíada (7): 99-111. Consultado em 6 de fevereiro de 2026
↑ «Na Folha, Marcelo Viana fala sobre números perfeitos». IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 27 de março de 2024. Consultado em 6 de fevereiro de 2026
1 2 Euclide; Heath, Thomas (1956). The thirteen books of Euclid's elements 2nd ed., rev. with additions ed. New York: Dover publications. ISBN 978-0-486-60088-8 |acessodata= requer |url= (ajuda)
↑ «Ibn al-Haytham - Biography». Maths History (em inglês). Consultado em 13 de fevereiro de 2026
↑ Pollack, Paul; Shevelev, Vladimir (1 de dezembro de 2012). «On perfect and near-perfect numbers». Journal of Number Theory (12): 3037–3046. ISSN 0022-314X. doi:10.1016/j.jnt.2012.06.008. Consultado em 13 de fevereiro de 2026
↑ Euler, Leonhard (1 de janeiro de 1849). «De numeris amicibilibus». Commentationes arithmeticae collectae: 627–636. Consultado em 13 de fevereiro de 2026
↑ Cohen, Graeme L. (março de 1981). «65.1 Even perfect numbers». The Mathematical Gazette (em inglês) (431): 28–30. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3617930. Consultado em 13 de fevereiro de 2026
↑ «Formalizing 100 Theorems». www.cs.ru.nl. Consultado em 13 de fevereiro de 2026
1 2 Gerstein, Larry J. (5 de junho de 2012). Introduction to Mathematical Structures and Proofs (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-4265-3. Consultado em 13 de fevereiro de 2026
1 2 «All even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime». t5k.org. Consultado em 13 de fevereiro de 2026
1 2 Travaglini, Giancarlo (12 de junho de 2014). Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04403-6. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[:1-1] 1 2 3 4 Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. [S.l.]: Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. p. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8

[:0-2] 1 2 Gomes, Alacyr J.; Costa, Eudes A. da; Santos, Ronaldo A. dos (setembro de 2008). «Números Perfeitos e Primos de Mersenne» (PDF). IME - UFG. Revista da Olimpíada (7): 99-111. Consultado em 6 de fevereiro de 2026

[3] «Na Folha, Marcelo Viana fala sobre números perfeitos». IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 27 de março de 2024. Consultado em 6 de fevereiro de 2026

[:2-4] 1 2 Euclide; Heath, Thomas (1956). The thirteen books of Euclid's elements 2nd ed., rev. with additions ed. New York: Dover publications. ISBN 978-0-486-60088-8 |acessodata= requer |url= (ajuda)

[5] «Ibn al-Haytham - Biography». Maths History (em inglês). Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[6] Pollack, Paul; Shevelev, Vladimir (1 de dezembro de 2012). «On perfect and near-perfect numbers». Journal of Number Theory (12): 3037–3046. ISSN 0022-314X. doi:10.1016/j.jnt.2012.06.008. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[7] Euler, Leonhard (1 de janeiro de 1849). «De numeris amicibilibus». Commentationes arithmeticae collectae: 627–636. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[8] Cohen, Graeme L. (março de 1981). «65.1 Even perfect numbers». The Mathematical Gazette (em inglês) (431): 28–30. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3617930. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[9] «Formalizing 100 Theorems». www.cs.ru.nl. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[:3-10] 1 2 Gerstein, Larry J. (5 de junho de 2012). Introduction to Mathematical Structures and Proofs (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-4265-3. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[:4-11] 1 2 «All even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime». t5k.org. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

[:5-12] 1 2 Travaglini, Giancarlo (12 de junho de 2014). Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04403-6. Consultado em 13 de fevereiro de 2026

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