O teorema de Noether é um resultado da teoria de sistemas dinâmicos. A primeira versão do teorema foi demonstrada em 1918^[1] por Emmy Noether.

Ela provou que toda grandeza física conservativa corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. Simetria aqui é entendida como uma transformação matemática que deixa as equações inalteradas em sua essência, sendo que todas as simetrias possíveis formam um grupo (no sentido matemático do termo). Um grupo contínuo é um grupo de simetrias definidas por um número que pertence ao conjunto dos Reais.

O enunciado do teorema do ponto de vista matemático diz que para cada grupo uniparamétrico de difeomorfismos de um sistema dinâmico Lagrangeano existe uma constante do movimento.^[2] Em mais detalhes, em um sistema de equações diferenciais ordinárias nas funções no tempo ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x(t),y(t),\ldots }$, dada uma solução das equações ${\displaystyle x_{1}(t),y_{1}(t),\ldots }$, e uma operação nesta solução que dependa de um parâmetro real e que seja contínua ${\displaystyle x_{1}(t)\rightarrow x_{2}(t),y_{1}(t)\rightarrow y_{2}(t),\ldots }$ de tal forma que ${\displaystyle x_{2}(t),y_{2}(t),\ldots }$ é também solução do mesmo sistema, então existe uma constante independente do tempo associada a esta transformação.

Por exemplo, se a equação em questão for a segunda lei de Newton e a transformação for a rotação dos eixos espaciais ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ou ${\displaystyle z}$ na direção do eixo de simetria ${\displaystyle z}$ por um ângulo (real) ${\displaystyle \theta }$, que formam um contínuo, então a grandeza física conservativa associada é o momento angular (na direção do eixo ${\displaystyle z}$). Outros dois exemplos importantes são: a família de translações numa determinada direção do espaço leva a conservação da quantidade de movimento, e a simetria temporal implica a conservação da energia.

Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether dizendo que: "Para cada família de simetrias corresponde uma lei de conservação".^[3]

A demonstração se baseia em utilizar o principio da ação conjuntamente das variações do tempo e das velocidades e coordenadas generalizadas, na função de Lagrange teremos o termo L cujo que a sua variação infinitesimal é L', o mesmo vale para o tempo e para as velocidades e coordenadas generalizadas, utilizando o principio da ação podemos encontrar a equação que descreve de maneira matemática o teorema de Noether.

S = \int_{t_0}^{t} L \, dt  

\Delta S = S' - S = 0  

S' = \int_{t_0}^{t} L' \, dt'  

S = \int_{t_0}^{t} L \, dt  

\Delta S = \int_{t_0}^{t} (L' \frac{dt'}{dt} - L) \, dt  

\Delta S = \int_{t_0}^{t} (L' \frac{d(t + \delta t)}{dt} - L) \, dt  

como estamos tratando de variações infinitesimais em uma aproximação de primeira ordem tem-se que L' = L  

\Delta S = \int_{t_0}^{t} \left( \frac{d}{dt} (L \delta t) + \Delta L \right) \, dt  

\Delta_{\bar{}} L = \Delta L - \delta t \frac{dL}{dt}  

\Delta_{\bar{}} L = (\Delta q_a - \delta t \dot{q}_a) \frac{\partial L}{\partial q_a} + (\Delta \dot{q}_a - \delta t \ddot{q}_a) \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a}  

\Delta_{\bar{}} L = \Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial q_a} + \frac{d}{dt} \left(\Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right)  

\Delta S = \int_{t_0}^{t} \left( \frac{d}{dt} (L \delta t) + \Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial q_a} \right) dt + \int_{t_0}^{t} \frac{d}{dt} \left(\Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right) dt  

\frac{\partial L}{\partial q_a} + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} \right) = 0  

\frac{d}{dt} (L \delta t) + \Delta_{\bar{}} q_a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_a} = 0  

A versão quântica do teorema está associada a diferentes resultados, como o chamado teorema de Wigner e o teorema de Stone.^[4]