Teoria espectral

Em matemática, teoria espectral é um termo abrangente para teorias que estendem a teoria de autovetores e autovalores de uma única matriz quadrada a uma teoria muito mais ampla da estrutura de operadores em vários espaços matemáticos.^[1] Ela resulta de estudos de álgebra linear e das soluções de sistemas de equações lineares e de suas generalizações.^[2] A teoria está ligada à de funções analíticas, porque as propriedades espectrais de um operador estão relacionadas a funções analíticas do parâmetro espectral.^[3]

O nome teoria espectral foi introduzido por David Hilbert em sua formulação original da teoria dos espaços de Hilbert, que foi expressa em termos de formas quadráticas em infinitas variáveis. O teorema espectral original foi, portanto, concebido como uma versão do teorema dos eixos principais de um elipsoide, em um contexto de dimensão infinita. A descoberta posterior, na mecânica quântica, de que a teoria espectral podia explicar características dos espectros atômicos foi, portanto, fortuita. O próprio Hilbert se surpreendeu com essa aplicação inesperada da teoria, observando que “Desenvolvi minha teoria das infinitas variáveis por interesses puramente matemáticos, e até a chamei de ‘análise espectral’ sem qualquer pressentimento de que ela mais tarde encontraria aplicação ao espectro real da física.”^[4]

Houve três maneiras principais de formular a teoria espectral, cada uma delas útil em diferentes domínios. Após a formulação inicial de Hilbert, o desenvolvimento posterior de espaços de Hilbert abstratos e da teoria espectral de operadores normais isolados sobre eles adequou-se bem às exigências da física, exemplificado pelo trabalho de von Neumann.^[5] A teoria posterior construída sobre isso para tratar de álgebras de Banach em geral. Esse desenvolvimento conduz à representação de Gelfand, que cobre o caso comutativo, e mais adiante à análise harmônica não comutativa.

A diferença pode ser vista ao se fazer a ligação com a análise de Fourier. A transformada de Fourier na reta real é, em certo sentido, a teoria espectral da diferenciação como um operador diferencial. Mas, para cobrir os fenômenos, já se precisa lidar com autofunções generalizadas (por exemplo, por meio de um espaço de Hilbert equipado). Por outro lado, é simples construir uma álgebra de grupo, cujo espectro captura as propriedades básicas da transformada de Fourier, e isso é realizado por meio da dualidade de Pontryagin.

Também se podem estudar as propriedades espectrais de operadores em espaços de Banach. Por exemplo, operadores compactos em espaços de Banach têm muitas propriedades espectrais semelhantes às de matrizes.

O pano de fundo na física das vibrações foi explicado da seguinte forma:^[6]

A teoria espectral está ligada à investigação de vibrações localizadas de uma variedade de objetos diferentes, desde átomos e moléculas em química até obstáculos em guias de ondas acústicos. Essas vibrações têm frequências, e a questão é decidir quando tais vibrações localizadas ocorrem e como calcular as frequências. Trata-se de um problema muito complicado, pois cada objeto tem não apenas um tom fundamental, mas também uma série complicada de harmônicos, que varia radicalmente de um corpo para outro.

Tais ideias físicas não têm relação com a teoria matemática em nível técnico, mas existem exemplos de envolvimento indireto (ver, por exemplo, a questão de Mark Kac Você consegue ouvir a forma de um tambor?). A adoção do termo “espectro” por Hilbert foi atribuída a um artigo de 1897 de Wilhelm Wirtinger sobre a equação diferencial de Hill (por Jean Dieudonné), e ele foi adotado por seus alunos durante a primeira década do século XX, entre eles Erhard Schmidt e Hermann Weyl. A base conceitual do espaço de Hilbert foi desenvolvida a partir das ideias de Hilbert por Erhard Schmidt e Frigyes Riesz.^[7][8] Somente cerca de vinte anos depois, quando a mecânica quântica foi formulada em termos da equação de Schrödinger, é que se fez a conexão com os espectros atômicos; uma conexão com a física matemática das vibrações havia sido suspeitada antes, como observou Henri Poincaré, mas rejeitada por razões quantitativas simples, na ausência de uma explicação da série de Balmer.^[9] A descoberta posterior de que a teoria espectral podia explicar características dos espectros atômicos foi, portanto, fortuita, em vez de um objetivo da teoria espectral de Hilbert.

Considere uma transformação linear limitada T definida em todo um espaço de Banach geral. Formamos a transformação: $${\displaystyle R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.}$$

Aqui, I é o operador identidade e ζ é um número complexo. O inverso de um operador T, isto é, T⁻¹, é definido por: $${\displaystyle TT^{-1}=T^{-1}T=I.}$$

Se o inverso existe, T é chamado regular. Se não existe, T é chamado singular.

Com essas definições, o conjunto resolvente de T é o conjunto de todos os números complexos ζ tais que R_ζ existe e é limitado. Esse conjunto costuma ser denotado por ρ(T). O espectro de T é o conjunto de todos os números complexos ζ tais que R_ζ não existe ou é ilimitado. Frequentemente o espectro de T é denotado por σ(T). A função R_ζ para todo ζ em ρ(T) (isto é, onde quer que R_ζ exista como operador limitado) chama-se o resolvente de T. O espectro de T é, portanto, o complemento do conjunto resolvente de T no plano complexo.^[10] Todo autovalor de T pertence a σ(T), mas σ(T) pode conter valores que não são autovalores.^[11]

Essa definição aplica-se a um espaço de Banach, mas, naturalmente, existem também outros tipos de espaço; por exemplo, espaços vetoriais topológicos incluem os espaços de Banach, mas podem ser mais gerais.^[12][13] Por outro lado, os espaços de Banach incluem os espaços de Hilbert, e são esses espaços que encontram a maior aplicação e os resultados teóricos mais ricos.^[14] Com restrições adequadas, muito se pode dizer sobre a estrutura dos espectros de transformações em um espaço de Hilbert. Em particular, para operadores autoadjuntos, o espectro está contido na reta real e é (em geral) uma combinação espectral de um espectro pontual de autovalores discretos e de um espectro contínuo.^[15]

Em análise funcional e álgebra linear, o teorema espectral estabelece condições sob as quais um operador pode ser expresso de forma simples como soma de operadores mais simples. Como uma apresentação rigorosa completa não é adequada para este artigo, adotamos uma abordagem que evita muito do rigor e da completude de um tratamento formal, com o objetivo de ser mais compreensível a um não especialista.

Esse tema é mais fácil de descrever introduzindo a notação bra–ket de Dirac para operadores.^[16][17] Como exemplo, um operador linear muito particular L pode ser escrito como um produto diádico:^[18][19]

${\displaystyle L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,}$

em termos do “bra” ⟨b₁| e do “ket” |k₁⟩. Uma função f é descrita por um ket como |f⟩. A função f(x) definida nas coordenadas ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$ é denotada por

${\displaystyle f(x)=\langle x|f\rangle }$

e a norma de f por

${\displaystyle \|f\|^{2}=\langle f|f\rangle =\int \langle f|x\rangle \langle x|f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx}$

onde a notação (*) denota conjugado complexo. Essa escolha de produto interno define um espaço com produto interno muito específico, restringindo a generalidade dos argumentos que seguem.^[14]

O efeito de L sobre uma função f é então descrito por:

${\displaystyle L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle }$

expressando o resultado de que o efeito de L sobre f é produzir uma nova função ${\displaystyle |k_{1}\rangle }$ multiplicada pelo produto interno representado por ${\displaystyle \langle b_{1}|f\rangle }$.

Um operador linear mais geral L pode ser expresso como:

${\displaystyle L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,}$

onde ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ são escalares, ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$ é uma base e ${\displaystyle \{\,\langle f_{i}|\,\}}$ é uma base recíproca do espaço. A relação entre a base e a base recíproca é descrita, em parte, por:

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

Se tal formalismo se aplica, os ${\displaystyle \{\,\lambda _{i}\,\}}$ são autovalores de L e as funções ${\displaystyle \{\,|e_{i}\rangle \,\}}$ são autofunções de L. Os autovalores pertencem ao espectro de L.^[20]

Algumas perguntas naturais são: em que circunstâncias esse formalismo funciona e para quais operadores L são possíveis expansões em série desse tipo? Qualquer função f pode ser expressa em termos das autofunções (elas formam uma base de Schauder) e em que circunstâncias surge um espectro pontual ou um espectro contínuo? Como os formalismos para espaços de dimensão infinita e espaços de dimensão finita diferem, ou diferem? Essas ideias podem ser estendidas a uma classe mais ampla de espaços? Responder a tais perguntas é o domínio da teoria espectral e exige considerável conhecimento prévio em análise funcional e álgebra matricial.

Esta seção continua no estilo informal da seção anterior, usando a notação bra–ket e omitindo muitos detalhes importantes de um tratamento rigoroso.^[21] Um tratamento matemático rigoroso pode ser encontrado em várias referências.^[22] Em particular, a dimensão n do espaço será finita.

Usando a notação bra–ket da seção anterior, o operador identidade pode ser escrito como:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|}$

onde se supõe, como acima, que ${\displaystyle \{|e_{i}\rangle \}}$ é uma base e ${\displaystyle \{\langle f_{i}|\}}$ uma base recíproca do espaço que satisfaz a relação:

${\displaystyle \langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Essa expressão da operação identidade é chamada uma representação ou uma resolução da identidade.^[21][22] Essa representação formal satisfaz a propriedade básica da identidade:

${\displaystyle I^{k}=I}$

válida para todo inteiro positivo k.

Aplicando a resolução da identidade a qualquer função do espaço ${\displaystyle |\psi \rangle }$, obtém-se:

${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle }$

que é a expansão generalizada de Fourier de ψ em termos das funções de base { e_i }.^[23] Aqui ${\displaystyle c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle }$.

Dada alguma equação de operadores da forma:

${\displaystyle O|\psi \rangle =|h\rangle }$

com h no espaço, essa equação pode ser resolvida na base acima pelas manipulações formais:

${\displaystyle O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,}$

${\displaystyle \langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j}$

o que converte a equação de operadores em uma equação matricial que determina os coeficientes desconhecidos c_j em termos dos coeficientes generalizados de Fourier ${\displaystyle \langle f_{j}|h\rangle }$ de h e dos elementos de matriz ${\displaystyle O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle }$ do operador O.

O papel da teoria espectral surge ao estabelecer a natureza e a existência da base e da base recíproca. Em particular, a base pode consistir nas autofunções de algum operador linear L:

${\displaystyle L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;}$

com { λ_i } os autovalores de L vindos do espectro de L. Então a resolução da identidade acima fornece a expansão diádica de L:

${\displaystyle LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.}$

Usando teoria espectral, o operador resolvente R:

${\displaystyle R=(\lambda I-L)^{-1},\,}$

pode ser avaliado em termos das autofunções e autovalores de L, e a função de Green correspondente a L pode ser encontrada.

Aplicando R a alguma função arbitrária do espaço, digamos ${\displaystyle \varphi }$,

${\displaystyle R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .}$

Essa função tem polos no plano complexo de λ em cada autovalor de L. Assim, usando o cálculo dos resíduos:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,}$

onde a integral de linha é sobre um contorno C que inclui todos os autovalores de L.

Suponha que nossas funções sejam definidas sobre algumas coordenadas {x_j}, isto é:

${\displaystyle \langle x|\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).}$

Introduzindo a notação

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\delta (x-y),}$

onde δ(x − y) = δ(x₁ − y₁, x₂ − y₂, x₃ − y₃, ...) é a função delta de Dirac,^[24] podemos escrever

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.}$

Então:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}}$

A função G(x, y; λ) definida por:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}}$

é chamada a função de Green do operador L, e satisfaz:^[25]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).}$

Considere a equação de operadores:

${\displaystyle (O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle$ ;}

em termos de coordenadas:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).}$

Um caso particular é λ = 0.

A função de Green da seção anterior é:

${\displaystyle \langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),}$

e satisfaz:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).}$

Usando essa propriedade da função de Green:

${\displaystyle \int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).}$

Então, multiplicando ambos os lados dessa equação por h(z) e integrando:

${\displaystyle \int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),}$

o que sugere que a solução é:

${\displaystyle \psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.}$

Isto é, a função ψ(x) que satisfaz a equação de operadores é encontrada se pudermos achar o espectro de O e construir G, por exemplo usando:

${\displaystyle G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.}$

Há muitas outras maneiras de encontrar G, naturalmente.^[26] Ver os artigos sobre funções de Green e sobre equações integrais de Fredholm. Deve-se ter em mente que a matemática acima é puramente formal, e um tratamento rigoroso envolve matemática bastante sofisticada, incluindo bom conhecimento prévio de análise funcional, espaços de Hilbert, distribuições etc. Consulte esses artigos e suas referências para mais detalhes.

Problemas de otimização podem ser os exemplos mais úteis sobre a importância combinatória dos autovalores e autovetores em matrizes simétricas, especialmente para o quociente de Rayleigh com respeito a uma matriz M.

Teorema Seja M uma matriz simétrica e seja x o vetor não nulo que maximiza o quociente de Rayleigh com respeito a M. Então, x é um autovetor de M com autovalor igual ao quociente de Rayleigh. Além disso, esse autovalor é o maior autovalor de M.

Demonstração Assuma o teorema espectral. Sejam os autovalores de M ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}}$. Como os ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ formam uma base ortonormal, qualquer vetor x pode ser expresso nessa base como

${\displaystyle x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}}$

A forma de provar essa fórmula é bastante simples. A saber,

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}}$

avalie o quociente de Rayleigh com respeito a x:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}}$

onde usamos a identidade de Parseval na última linha. Finalmente obtemos que

${\displaystyle {\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}}$

portanto o quociente de Rayleigh é sempre menor que ${\displaystyle \lambda _{n}}$.^[27]

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• Edward Brian Davies (1996). Spectral Theory and Differential Operators; Volume 42 in the Cambridge Studies in Advanced Mathematics. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58710-7 
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