Теорема Холдича

Теорема Холдича утверждает, что если хорда фиксированной длины вращается внутри выпуклой замкнутой кривой, то геометрическое место точек, которые находятся на расстоянии p от одного конца и расстоянии q от другого конца, образует кривую, ограничивающую площадь, которая меньше площади, ограниченной исходной кривой, на величину ${\displaystyle \pi pq}$. Теорему опубликовал в 1858 году Хаммет Холдич^[1][2]. Хотя Холдич этого не упоминает, доказательство теоремы предполагает, что хорда достаточно мала, чтобы полученная кривая была простой замкнутой кривой^[3].

Теорема включена Клиффордом Пиковером в качестве одной из 250 вех истории математики^[1]. Некоторые особенности теоремы заключаются в том, что формула площади ${\displaystyle \pi pq}$ не зависит ни от формы, ни от размера исходной кривой, и что формула площади совпадает с формулой площади эллипса с полуосями p и q. Автором теоремы был президент колледжа Гонвилл-энд-Киз.

Допустим, что внешняя кривая — окружность радиуса 1. Тривиально вычислить площадь внутренней кривой (также окружности), которая равна ${\displaystyle \pi pq}$. Общий случай (2-D) следует ниже.

Броман^[3] приводит более точную формулировку теоремы, а также ее обобщение. Это обобщение позволяет, например, рассмотреть случай, когда внешняя кривая является треугольником. В этом случае условия точной формулировки теоремы Холдича не выполняются, поскольку пути концов хорды имеют участки с ретроградным движением (когда точка проходит частично уже пройденный путь), когда проходится острый угол. Тем не менее, обобщение показывает, что если хорда короче любой из высот треугольника, описанный хордой след будет простой кривой, формула Холдича для площади между кривыми остается верной (и остается таковой, если треугольник заменить любым выпуклым многоугольником с достаточно короткой хордой). Однако в других случаях получаются иные формулы.

• B. Williamson, FRS, An elementary treatise on the integral calculus : containing applications to plane curves and surfaces, with numerous examples (Longmans, Green, London, 1875; 2nd 1877; 3rd 1880; 4th 1884; 5th 1888; 6th 1891; 7th 1896; 8th 1906; 1912, 1916, 1918, 1926); Ist 1875, pp. 192–193, with citation of Holditch's Prize Question set in The Lady's and Gentleman's Diary for 1857 (appearing in late 1856), with extension by Woolhouse in the issue for 1858; 5th 1888; 8th 1906 pp. 206–211
• J. Edwards, A Treatise on the Integral Calculus with Applications, Examples and Problems, Vol. 1 (Macmillan, London, 1921), Chap. XV, esp. Sections 478, 481–491, 496 (see also Chap. XIX for instantaneous centers, roulettes and glisettes); expounds and references extensions due to Woolhouse, Elliott, Leudesdorf, Kempe, drawing on the earlier book of Williamson.
• Erol Kılıç, Sadık Keleş. On Holditch's theorem and polar inertia momentum // Communications Faculty of Sciences University of Ankara. — 1994. — Т. 43, вып. 1–2. — С. 41–47 (1996).
• Mark J. Cooker. An extension of Holditch's theorem on the area within a closed curve // The Mathematical Gazette. — 1998. — Июль (т. 82, вып. 494). — С. 183–188. — doi:10.2307/3620400. — .
• Mark J. Cooker. On sweeping out an area // The Mathematical Gazette. — 1999. — Март (т. 83, вып. 496). — С. 69–73. — doi:10.2307/3618685. — .
• Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. 9.13 Remarks concerning Holditch's theorem // New Horizons in Geometry. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 2012. — Т. 47. — С. 291–294. — (The Dolciani Mathematical Expositions). — ISBN 978-0-88385-354-2.

• Weisstein, Eric W. Holditch's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.