Cúbica resolvente

Supóngase que ${\displaystyle P(x)}$ es una ecuación cuártica reducida, es decir, que ${\displaystyle a_{1}=0}$. Una posible definición de la cúbica resolvente de ${\displaystyle P(x)}$ es:^[1]

${\displaystyle R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{4})y-{a_{3}}^{2}.}$

El origen de esta definición radica en aplicar el método de Ferrari para encontrar las raíces de ${\displaystyle P(x)}$. Para ser más precisos:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{3}x-a_{4}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}}$

Agregando una nueva incógnita ${\displaystyle y}$ a ${\displaystyle x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}}$, se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}}$

Si esta expresión es un cuadrado, solo puede ser el cuadrado de

${\displaystyle {\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y}}}}.}$

Pero la igualdad

${\displaystyle \left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}}$

es equivalente a

${\displaystyle {\frac {{a_{3}}^{2}}{8y}}=-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}}$

y esto es lo mismo que la afirmación de que ${\displaystyle R_{1}(y)=0}$.

Si ${\displaystyle y_{0}}$ es una raíz de ${\displaystyle R_{1}(y)}$, entonces es una consecuencia de los cálculos realizados anteriormente para concluir que las raíces de ${\displaystyle P(x)}$ son las raíces del polinomio

${\displaystyle x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}}$

junto con las raíces del polinomio

${\displaystyle x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.}$

Por supuesto, esto no tiene sentido si ${\displaystyle y_{0}=0}$, pero dado que el término constante de ${\displaystyle R_{1}(y)}$ es ${\displaystyle a_{4}}$, entonces ${\displaystyle y_{0}}$ es una raíz de ${\displaystyle R_{1}(y)}$ si y solo si ${\displaystyle a_{1}=0}$, y en este caso las raíces de ${\displaystyle P(x)}$ se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Otra posible definición^[1] (todavía suponiendo que ${\displaystyle P(x)}$ es una ecuación cuártica reducida) es

${\displaystyle R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{4}y+4a_{2}a_{4}-{a_{3}}^{2}}$

El origen de esta definición es similar a la anterior. Esta vez, se comienza haciendo:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{3}x-a_{4}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{3}x-a_{4}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}}$

y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y solo si

${\displaystyle 8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{3}y+4a_{2}a_{4}-{a_{3}}^{2}=0{\text{.}}}$

Un cálculo simple muestra que

${\displaystyle R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).}$

Otra posible definición^[2][3] (nuevamente, suponiendo que ${\displaystyle P(x)}$ es una ecuación cuártica reducida) es

${\displaystyle R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y-{a_{3}}^{2}{\text{.}}}$

El origen de esta definición radica en otro método para resolver ecuaciones cuárticas, a saber, el método de Descartes. Si se intenta encontrar las raíces de ${\displaystyle P(x)}$ expresándolas como producto de dos polinomios mónicos cuadráticos ${\displaystyle x^{2}+\alpha x+\beta =0}$ y ${\displaystyle x^{2}-\alpha x+\gamma =0}$, entonces

${\displaystyle P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (\gamma -\beta )=a_{3}\\\beta \gamma =a_{4}.\end{array}}\right.}$

Si hay una solución de este sistema con ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ (teniendo en cuenta que la solución del sistema es cierta si ${\displaystyle \alpha ^{2}\neq 0}$), el sistema anterior es equivalente a

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {a_{3}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{4}.\end{array}}\right.}$

Esto es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones, entonces

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{3}}{\alpha }}\right)}$

y

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{3}}{\alpha }}\right).}$

Después de reemplazar, en la tercera ecuación, ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \gamma }$ por estos valores se obtiene

${\displaystyle \left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{3}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{4}{\text{,}}}$

y esto es equivalente a la afirmación de que ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ es una raíz de ${\displaystyle R_{3}(y)}$. Entonces, nuevamente, conocer las raíces de ${\displaystyle R_{3}(y)}$ ayuda a determinar las raíces de ${\displaystyle P(x)}$.

Téngase en cuenta que

${\displaystyle R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}}$

Aún es posible otra definición^[4]

${\displaystyle R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{4})y+(4a_{2}a_{4}-{a_{1}}^{2}a_{4}-{a_{3}}^{2})}$

De hecho, si las raíces de ${\displaystyle P(x)}$ son ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ y ${\displaystyle \alpha _{4}}$, entonces

${\displaystyle R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

Es un hecho deducido de las relaciones de Cardano-Vieta. En otras palabras, ${\displaystyle R_{4}(y)}$ es el polinomio mónico cuyas raíces son ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}}$, ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}}$ y ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}}$.

Es fácil ver esto, dado que

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Por lo tanto, ${\displaystyle P(x)}$ tiene una raíz múltiple si y solo si ${\displaystyle R_{4}(y)}$ tiene una raíz múltiple. Más precisamente, ${\displaystyle P(x)}$ y ${\displaystyle R_{4}(y)}$ tienen el mismo discriminante.

Se debe tener en cuenta que si ${\displaystyle P(x)}$ es un polinomio reducido, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{4}y+(4a_{2}a_{4}-{a_{3}}^{2})\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Otra definición más es^[5][6]

${\displaystyle R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{1}a_{3}-4a_{4})y+{a_{3}}^{2}-a_{1}a_{2}a_{3}+{a_{1}}^{2}a_{4}{\text{.}}}$

Si las raíces de ${\displaystyle P(x)}$ son ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ y ${\displaystyle \alpha _{4}}$, entonces:

${\displaystyle R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}}$

nuevamente como consecuencia de las relaciones de Cardano-Vieta. En otras palabras, ${\displaystyle R_{5}(y)}$ es el polinomio mónico cuyas raíces son ${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})}$, ${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})}$ y ${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})}$.

Es fácil ver esto, pues

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}}$

${\displaystyle (\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}}$

Por lo tanto, como sucede con ${\displaystyle R_{4}(y)}$, ${\displaystyle P(x)}$ tiene una raíz múltiple si y solo si ${\displaystyle R_{5}(y)}$ tiene una raíz múltiple. Más precisamente, ${\displaystyle P(x)}$ y ${\displaystyle R_{5}(y)}$ tienen el mismo discriminante. Esto también es una consecuencia del hecho de que ${\displaystyle R_{5}(y+a_{2})=R_{4}(y)}$.

Téngase en cuenta que si ${\displaystyle P(x)}$ es un polinomio cuártico reducido, entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y+{a_{3}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}}$

Se explicó anteriormente cómo pueden usarse ${\displaystyle R_{1}(y)}$, ${\displaystyle R_{2}(y)}$ y ${\displaystyle R_{3}(y)}$ para encontrar las raíces de ${\displaystyle P(x)}$ si este polinomio está reducido. En el caso general, simplemente se tienen que encontrar las raíces del polinomio reducido ${\displaystyle P\left(x-{\frac {a_{1}}{4}}\right)}$. Para cada raíz ${\displaystyle x_{0}}$ de este polinomio, ${\displaystyle x_{0}-{\frac {a_{1}}{4}}}$ es una raíz de ${\displaystyle P(x)}$.

Si un polinomio cuártico ${\displaystyle P(x)}$ es reducible en ${\displaystyle k[x]}$, entonces es el producto de dos polinomios cuadráticos o el producto de un polinomio lineal por un polinomio cúbico. Esta segunda posibilidad ocurre si y solo si ${\displaystyle P(x)}$ tiene una raíz en ${\displaystyle k}$. Para determinar si ${\displaystyle P(x)}$ puede expresarse o no como el producto de dos polinomios cuadráticos, suponiendo, por simplicidad, que ${\displaystyle P(x)}$ es un polinomio reducido. Como se vio anteriormente, si la cúbica resolvente ${\displaystyle R_{3}(y)}$ tiene una raíz no nula de la forma ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ para algunos ${\displaystyle \alpha \in k}$, entonces existe tal descomposición polinómica.

Esto puede usarse para demostrar que, en ${\displaystyle R(x)}$, cada polinomio cuártico sin raíces reales puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos. Sea ${\displaystyle P(x)}$ tal polinomio, se puede suponer sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle P(x)}$ es un polinomio mónico. También se puede suponer sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque ${\displaystyle P(x)}$ puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos si y solo si ${\displaystyle P\left(x-{\frac {a_{1}}{4}}\right)}$ puede hacerlo y este polinomio es uno reducido. Entonces ${\displaystyle R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y-{a_{3}}^{2}}$. Hay dos casos:

• Si ${\displaystyle a_{3}\neq 0}$ entonces ${\displaystyle R_{3}(0)=-{a_{3}}^{2}>0}$. Dado que ${\displaystyle R_{3}(y)>0}$ si ${\displaystyle y}$ es lo suficientemente grande, entonces, según el teorema del valor intermedio, ${\displaystyle R_{3}(y)}$ tiene una raíz ${\displaystyle y_{0}}$ con ${\displaystyle y_{0}>0}$. Entonces, se puede tomar ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {y_{0}}}}$.
• Si ${\displaystyle a_{3}=0}$, entonces ${\displaystyle R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y}$. Las raíces de este polinomio son cero y las raíces del polinomio cuadrático ${\displaystyle y^{2}+2a_{2}y+({a_{2}}^{2}-4a_{4})}$. Si ${\displaystyle {a_{2}}^{2}-4a_{4}<0}$, entonces el producto de las dos raíces de este polinomio es menor que 0 y por lo tanto tiene una raíz mayor que cero (que resulta ser ${\displaystyle -a_{2}+{\sqrt {a_{4}}}}$) y se puede tomar ${\displaystyle \alpha }$ como la raíz cuadrada de esa raíz. De lo contrario, ${\displaystyle {a_{2}}^{2}-4a_{4}\geq 0}$, y entonces

${\displaystyle P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{4}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{4}}}}{2}}\right){\text{.}}}$

En términos más generales, si ${\displaystyle k}$ es un cuerpo cerrado real, entonces cada polinomio cuártico sin raíces en ${\displaystyle k}$ puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en ${\displaystyle k[x]}$. De hecho, esta declaración puede expresarse en lógica de primer orden y cualquier declaración que se mantenga para ${\displaystyle R(x)}$ también se cumple para cualquier campo cerrado real.

Se puede usar un enfoque similar para obtener un algoritmo^[2] para determinar si un polinomio cuártico ${\displaystyle P(x)\in Q(x)}$ es reducible y, si es así, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado. Nuevamente, supondremos que ${\displaystyle P(x)}$ es mónico y reducido. Entonces ${\displaystyle P(x)}$ es reducible si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

• El polinomio ${\displaystyle P(x)}$ tiene una raíz racional (esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional).
• La cúbica resolvente ${\displaystyle R_{3}(y)}$ tiene una raíz de la forma ${\displaystyle \alpha ^{2}}$, para algún número racional no nulo ${\displaystyle \alpha }$ (de nuevo, esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional).
• El número ${\displaystyle {a_{2}}^{2}-4a_{4}}$ es el cuadrado de un número racional, y además ${\displaystyle a_{3}=0}$.

En efecto:

• Si ${\displaystyle P(x)}$ tiene una raíz racional ${\displaystyle r}$, entonces ${\displaystyle P(x)}$ es el producto de ${\displaystyle x-r}$ por un polinomio cúbico en ${\displaystyle Q[x]}$, que puede determinarse por división polinómica o por la regla de Ruffini.
• Si hay un número racional ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ tal que ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ es una raíz de ${\displaystyle R_{3}(y)}$, ya se mostró anteriormente cómo expresar ${\displaystyle P(x)}$ como producto de dos polinomios cuadráticos en ${\displaystyle Q[x]}$.
• Finalmente, si se cumple la tercera condición y si ${\displaystyle \delta \in Q}$ es tal que ${\displaystyle \delta ^{2}={a_{2}}^{2}-4a_{4}}$, entonces ${\displaystyle P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+\delta }{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-\delta }{2}}\right)}$.

La cúbica resolvente de un polinomio cuártico irreducible ${\displaystyle P(x)}$ puede usarse para determinar su grupo de Galois G; es decir, el grupo de Galois del campo de división de ${\displaystyle P(x)}$. Sea ${\displaystyle n}$ el grado sobre ${\displaystyle k}$ del campo de división de la cúbica resolvente (puede ser ${\displaystyle R_{4}(y)}$ o ${\displaystyle R_{5}(y)}$; tienen el mismo campo de división). Entonces, el grupo ${\displaystyle G}$ es un subgrupo del grupo simétrico ${\displaystyle S_{4}}$. Más precisamente:^[4]

• Si ${\displaystyle n=1}$ (es decir, si los factores cúbicos resolventes en factores lineales en ${\displaystyle k}$), entonces G es el grupo {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
• Si ${\displaystyle n=2}$ (es decir, si la cúbica resolvente tiene una y, salvo multiplicidad, solo una raíz en ${\displaystyle k}$), entonces, para determinar ${\displaystyle G}$, se puede determinar si ${\displaystyle P(x)}$ sigue siendo irreducible después de unir al campo ${\displaystyle k}$ las raíces de la cúbica resolvente. De lo contrario, entonces ${\displaystyle G}$ es un grupo cíclico de cuarto orden; más precisamente, es uno de los tres subgrupos cíclicos de ${\displaystyle S_{4}}$ generado por cualquiera de sus seis ciclos cuádruples. Si aún es irreducible, entonces ${\displaystyle G}$ es uno de los tres subgrupos de ${\displaystyle S_{4}}$ de octavo orden, cada uno de los cuales es isomorfo al grupo diédrico de octavo orden.
• Si ${\displaystyle n=3}$, entonces ${\displaystyle G}$ es el grupo alternante ${\displaystyle A_{4}}$.
• Si ${\displaystyle n=6}$, entonces ${\displaystyle G}$ es todo el grupo ${\displaystyle S_{4}}$.