Cardinal medible

Un cardinal medible ${\displaystyle \kappa }$ es un cardinal incontable que se pueden medir los subconjuntos de ${\displaystyle \kappa }$ usando una medición 2-valuada en el conjunto potencia de ${\displaystyle \kappa }$ o ${\displaystyle }{\mathcal {P(\kappa )}}$. Hay varias otras definiciones equivalentes: Por ejemplo, ${\displaystyle \kappa }$ también puede ser el punto critico de una incrustación no trivial ${\displaystyle j:V\rightarrow M}$^[1]

los cardinales medibles fueron presentados por Stanilaw Ulam en 1930.^[1]

Esencialmente hay 2 maneras de medir un cardinal ${\displaystyle \kappa }$,es decir que podemos exigir que la medida sea ${\displaystyle \sigma }$-aditiva(una medida clásica) o ser ${\displaystyle \kappa }$-aditiva(para cada cardinal ${\displaystyle \lambda }$ de tal manera que ${\displaystyle \lambda <\kappa }$,la unión de ${\displaystyle \lambda }$ conjuntos nulos aun tiene medida 0)^[1]

sea ${\displaystyle \kappa }$ no numerable.

1.existe una medida 2-valuada(${\displaystyle \sigma }$-aditiva) medida sobre ${\displaystyle \kappa }$^[1]

2.existe un ultrafiltro no principal ${\displaystyle \sigma }$-completo

La equivalencia se debe al hecho de que si ${\displaystyle \mu }$ es una medida 2-valuada sobre ${\displaystyle \kappa }$,entonces ${\displaystyle U}$=${\displaystyle \{X\subset \kappa |\mu (X)=1\}}$ es un ultrafiltro no principal (ya que ${\displaystyle \mu }$ es 2-valuado) y es ${\displaystyle \sigma }$-completo debido a la ${\displaystyle \sigma }$-aditividad de ${\displaystyle \mu }$.Similarmente,si ${\displaystyle U}$ es un ${\displaystyle \sigma }$-completo ultrafiltro no principal sobre ${\displaystyle \kappa }$,entonces ${\displaystyle \mu$ :}{\mathcal {P(\kappa )\rightarrow [0,1]}} definido por ${\displaystyle \mu (X)=1}$ cuando sea ${\displaystyle X\in U}$,${\displaystyle \mu (X)=0}$,de lo contrario es una medida 2-valuada sobre ${\displaystyle \kappa }$^[1]

• Neugierde