Constante de Gompertz

En matemáticas, la constante de Gompertz o constante de Euler-Gompertz,^[1][2] denotada como ${\displaystyle \delta }$, aparece en evaluaciones integrales y como un valor de funciones especiales. Recibe su nombre de Benjamin Gompertz.

Se puede definir mediante la integral exponencial como:^[3]

${\displaystyle \delta =-e\operatorname {Ei} (-1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx.}$

El valor numérico de ${\displaystyle \delta }$ es aproximadamente

δ = 0.596347362323194074341078499369...   (sucesión A073003 en OEIS).

Cuando Euler estudió las series infinitas divergentes, encontró ${\displaystyle \delta }$ mediante, por ejemplo, la representación integral anterior. Le Lionnais llamó a ${\displaystyle \delta }$ la constante de Gompertz debido a su papel en el análisis de supervivencia.^[1]

En 1962, A. B. Shidlovski demonstró que al menos una de las constantes de Euler-Mascheroni o de la constante de Euler–Gompertz es un número irracional.^[4] Este resultado fue mejorado en 2012 por Tanguy Rivoal que demostró que al menos una de ellas es trascendente.^[2][5][6][7]

La aparición más frecuente de ${\displaystyle \delta }$ es en las siguientes integrales:

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx}$

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\ln(x)}}dx}$

que siguen de la definición de δ mediante integración por partes y sustitución de variable respectivamente.

Aplicando la expansión de serie de Taylor para ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ se tiene la siguiente representación en serie:

${\displaystyle \delta =-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}$

La constante de Gompertz está relacionada con los números de Gregory a través de la fórmula de 2013 de I. Mező:^[8]

${\displaystyle \delta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.}$

La constante de Gompertz también resulta ser el valor regularizado de la suma de los factoriales alternos de todos los números naturales. (1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯), la cual es definida mediante sumación de Borel:^[2]

${\displaystyle \delta =\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$

También está relacionada con varias fracciones continuas polinómicas:^[1][2]

${\displaystyle {\frac {1}{\delta }}=2-{\cfrac {1^{2}}{4-{\cfrac {2^{2}}{6-{\cfrac {3^{2}}{8-{\cfrac {4^{2}}{\ddots {\cfrac {n^{2}}{2(n+1)-\dots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\delta }}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {4}{\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-\delta }}=3-{\cfrac {2}{5-{\cfrac {6}{7-{\cfrac {12}{9-{\cfrac {20}{\ddots {\cfrac {n(n+1)}{2n+3-\dots }}}}}}}}}}}$

• Weisstein, Eric W. «Gompertz Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• OEIS sequence A073003 (Gompertz Constant)