Efecto Voigt

El efecto Voigt es un fenómeno magneto-óptico que produce una rotación y eliptización de la luz polarizada linealmente al atravesar un medio ópticamente activo.^[1]^[2] A diferencia de muchos otros efectos magneto-ópticos como el efecto Kerr o el efecto Faraday, que son linealmente proporcionales a la magnetización (o al campo magnético aplicado en un material no magnetizado), el efecto Voigt es proporcional al cuadrado de la magnetización (o al cuadrado del campo magnético) y puede observarse experimentalmente en incidencia normal.^[3]

Existen varias denominaciones para este efecto en la literatura:

El efecto Cotton-Mouton (en referencia a los científicos franceses Aimé Cotton y Henri Mouton),^[4]
El efecto Voigt (en referencia al físico alemán Woldemar Voigt),^[5]
La birrefringencia magnético-lineal.^[6]

Esta última denominación es más precisa desde el punto de vista físico, ya que el efecto Voigt consiste en una birrefringencia magnética del material, con un índice de refracción paralelo ( $n_{\parallel }$ ) y otro perpendicular ( $n_{\perp }$ ) al vector de magnetización o al campo magnético aplicado.^[7]

Formalismo

Para una onda incidente electromagnética polarizada linealmente ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ y una muestra polarizada en el plano ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ , la expresión de la rotación en geometría de reflexión $\delta \beta$ es:^[8]

$\delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]$

y en la geometría de transmisión:

$\quad \delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}$

donde:

$\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ es la diferencia de los índices de refracción dependiente del parámetro de Voigt,
$Q=Q_{i}+iQ_{r}$ (expresión análoga a la del efecto Kerr),
$n_{0}$ es el índice de refracción del material,
$B_{1}$ es el parámetro responsable del efecto Voigt, proporcional a $M^{2}$ o a $(\mu _{0}H)^{2}$ en el caso de un material paramagnético.^[1]

El cálculo detallado y una ilustración se presentan en las secciones siguientes.

Teoría

Marco y sistema de coordenadas para la derivación del efecto Voigt. ${\vec {E}}_{i}$ , ${\vec {E}}_{r}$ y ${\vec {E}}_{t}$ representan los campos electromagnéticos incidente, reflejado y transmitido, respectivamente.

Al igual que con otros efectos magneto-ópticos, la teoría se desarrolla de manera estándar mediante el uso de un tensor dieléctrico efectivo, a partir del cual se calculan los valores propios y los vectores propios del sistema.^[9] Los fenómenos magneto-ópticos se describen principalmente por los elementos fuera de la diagonal de este tensor.^[10]

Aquí se considera una polarización incidente que se propaga en la dirección z: ${\vec {E_{i}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}$ como el campo eléctrico, y una muestra magnetizada homogéneamente en el plano ${\vec {m}}={\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \\0\end{pmatrix}}$ , donde $\phi$ se mide desde la dirección cristalográfica [100]. El objetivo es calcular ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}\cos \beta +\delta \beta \\\sin \beta +\delta \beta \\0\end{pmatrix}}e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}$ , donde $\delta \beta$ es la rotación de polarización debida al acoplamiento de la luz con la magnetización. Nótese que $\delta \beta$ es experimentalmente una cantidad pequeña, del orden de milirradianes (mrad). ${\vec {m}}$ es el vector de magnetización reducida, definido por ${\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}$ , siendo $M_{s}$ la magnetización de saturación.^[11] Dado que el vector de propagación de la luz es perpendicular al plano de magnetización, es posible observar el efecto Voigt.^[12]

Tensor dieléctrico

Siguiendo la notación de Hubert,^[11] el tensor dieléctrico cúbico generalizado $\epsilon _{r}$ se expresa como:^[13]

$(1)\qquad \epsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}$

donde:

$\epsilon$ es la constante dieléctrica del material,
$Q$ es el parámetro de Voigt,
$B_{1}$ y $B_{2}$ son dos constantes cúbicas que describen el efecto magneto-óptico dependiente de $m_{i}^{2}$ ,^[9]
$m_{i}=M_{i}/M_{s}$ son las componentes reducidas de la magnetización.

El cálculo se realiza en la aproximación esférica con $B_{1}=B_{2}$ . No hay evidencia de que esta aproximación sea inválida, ya que la observación del efecto Voigt es rara debido a su magnitud extremadamente pequeña en comparación con el efecto Kerr.^[2]

Valores propios y vectores propios

Para calcular los valores propios y los vectores propios, se considera la ecuación de propagación derivada de las ecuaciones de Maxwell, con la convención ${\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega$ :^[14]

$(2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\epsilon {\vec {E}}$

Cuando la magnetización es perpendicular al vector de onda de propagación (a diferencia del efecto Kerr), ${\vec {E}}$ puede tener sus tres componentes distintas de cero, lo que hace que los cálculos sean más complicados y que las ecuaciones de Fresnel dejen de ser válidas.^[3] Una forma de simplificar el problema es utilizar el vector de desplazamiento eléctrico ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ . Dado que ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0$ y ${\vec {k}}\parallel {\vec {z}}$ , se tiene ${\vec {D}}={\begin{pmatrix}D_{x}\\D_{y}\\0\end{pmatrix}}$ . La desventaja es que se debe trabajar con el tensor dieléctrico inverso, lo cual puede ser complicado.^[12]

Aquí el cálculo se realiza en el caso general, aunque puede seguirse fácilmente considerando $\phi =0$ . Los valores propios y vectores propios se encuentran resolviendo la ecuación de propagación en ${\vec {D}}$ , lo que da el siguiente sistema de ecuaciones:^[8]

$(3)\quad \left\{{\begin{matrix}(\epsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\epsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\epsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{matrix}}\right.$

donde $\epsilon _{ij}^{-1}$ representa el elemento $ij$ del inverso del tensor dieléctrico $\epsilon _{r}$ , y $n^{2}=\epsilon$ . Tras calcular el determinante del sistema y desarrollar hasta segundo orden en $Q$ y primer orden en $B_{1}$ , se obtienen dos valores propios correspondientes a los dos índices de refracción:^[15]

$n_{\parallel }^{2}=\epsilon +B_{1}$ $n_{\perp }^{2}=\epsilon (1-Q^{2})$

Los vectores propios correspondientes para ${\vec {D}}$ y para ${\vec {E}}$ son:^[8]

$(4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\epsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\epsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}$

Geometría de reflexión

Relaciones de continuidad

Conociendo los vectores propios y los valores propios dentro del material, se puede calcular ${\vec {E_{r}}}={\begin{pmatrix}E_{rx}\\E_{ry}\\0\end{pmatrix}}$ , el vector electromagnético reflejado que suele detectarse en los experimentos.^[14] Para ello se utilizan las ecuaciones de continuidad para ${\vec {E}}$ y ${\vec {H}}$ , donde ${\vec {H}}$ es la inducción magnética definida a partir de las ecuaciones de Maxwell por ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$ . Dentro del medio, el campo electromagnético se descompone en los vectores propios: ${\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }$ . El sistema de ecuaciones a resolver es:^[8]

$(5)\quad \left\{{\begin{matrix}\alpha {\Big (}{\frac {D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{y\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{ry}=E_{0y}\\\\\alpha {\Big (}{\frac {D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{x\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{matrix}}\right.$

La solución de este sistema es:^[16]

$(6)\quad E_{rx}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\cos(\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}$ $(7)\quad E_{ry}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\sin(\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}$

Cálculo del ángulo de rotación

El ángulo de rotación $\delta \beta$ y la elipticidad $\psi$ se definen a partir de la relación $\chi =E_{ry}/E_{rx}$ mediante las siguientes fórmulas:^[9]

$(8)\quad \tan 2\delta \beta ={\frac {2\operatorname {Re} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}}\qquad (9)\quad \sin(2\psi _{K})={\frac {2\operatorname {Im} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}},$

donde $\operatorname {Re} (\chi )$ y $\operatorname {Im} (\chi )$ representan las partes real e imaginaria de $\chi$ . Usando los dos componentes calculados previamente, se obtiene:^[8]

$(10)\qquad \chi ={\frac {(B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2})}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}{\frac {\sin[2(\phi -\beta )]}{\cos(\beta )^{2}}}+\tan(\beta ).$

Esto da para la rotación de Voigt:^[17]

$(11)\qquad \delta \beta =\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]\sin[2(\phi -\beta )],$

que también puede reescribirse en el caso de $B_{1}$ , $n_{0}$ y $Q$ reales como:^[8]

$(12)\quad \delta \beta ={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )],$

donde $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ es la diferencia de los índices de refracción. Se obtiene una cantidad proporcional a $\Delta n$ que depende de la polarización lineal incidente. Cuando $\phi -\beta =0$ no se observa rotación de Voigt. $\Delta n$ es proporcional al cuadrado de la magnetización, ya que $B_{1}\propto M_{s}^{2}$ y $Q\propto M_{s}$ .^[10]

Geometría de transmisión

El cálculo de la rotación del efecto Voigt en transmisión es, en principio, equivalente al del efecto Faraday.^[2] En la práctica, esta configuración no se utiliza generalmente para muestras ferromagnéticas, ya que la longitud de absorción es pequeña en este tipo de materiales. Sin embargo, la geometría de transmisión es más común en líquidos paramagnéticos o cristales, donde la luz puede viajar fácilmente a través del material.^[4]

El cálculo para un material paramagnético es exactamente el mismo que para uno ferromagnético, excepto que la magnetización se reemplaza por un campo $\mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}{\begin{pmatrix}\cos \phi \\\sin \phi \end{pmatrix}}$ (con $H_{0}$ en $A/m$ o $G$ ). El campo se incorpora al final del cálculo en los parámetros magneto-ópticos.^[7]

Considerando las ondas electromagnéticas transmitidas ${\vec {E}}_{t}$ que se propagan en un medio de longitud L, de la ecuación (5) se obtiene para $\alpha$ y $\beta$ :^[18]

$\alpha ={\frac {2E_{0}n_{\parallel }\cos(\theta -\phi )}{1+n_{\parallel }}}$ $\beta ={\frac {2E_{0}n_{\perp }^{2}\sin(\theta -\phi )}{n_{\perp }+1}}$

En la posición z = L, la expresión de ${\vec {E}}_{t}$ es:^[19]

$(13)\quad {\vec {E}}_{t}=e^{-i\omega [t+{\frac {(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}}]}{\Big [}\alpha {\vec {E}}_{\parallel }e^{i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}+\beta {\vec {E}}_{\perp }e^{-i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}{\Big ]}$

donde ${\vec {E}}_{\parallel }$ y ${\vec {E}}_{\perp }$ son los vectores propios calculados previamente, y $\Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}$ . La rotación se calcula a partir de la relación $\chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}$ , con desarrollo en primer orden en $B_{1}$ y segundo orden en $Q$ . Esto da:^[18]

$(14)\quad \chi ={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})(B_{1}+n_{0}Q^{2})\sin[2(\beta -\phi )]}{4cn_{0}(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})\Delta n\sin[2(\beta -\phi )]}{c~(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}$

Nuevamente se obtiene una expresión proporcional a $\Delta n$ y a $L$ . Nótese que $\Delta n$ es proporcional a $(\mu _{0}H_{0})^{2}$ , de forma similar a lo que ocurre en la geometría de reflexión para la magnetización. Para extraer la rotación de Voigt, se considera $n_{0}=\eta +i~\kappa$ , $Q=Q_{r}+i~Q_{i}$ y $B_{1}$ real. Se calcula la parte real de (14) y se sustituye en (8). En la aproximación de ausencia de absorción, se obtiene para la rotación de Voigt en geometría de transmisión:^[19]

$(15)\quad \delta \beta =(\mu _{0}H)^{2}{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}$

Ilustración del efecto Voigt en GaMnAs

Figura 1: a) Ciclo de histéresis experimental en una muestra de (Ga,Mn)As. b) Ciclo de histéresis de Voigt obtenido al extraer la parte simétrica de (a). c) Ciclo de Kerr longitudinal obtenido al extraer la parte asimétrica de (a).

Figura 2: a) Mecanismo de conmutación en una muestra de (Ga,Mn)As para un campo magnético aplicado a lo largo del eje [1-10] a 12 K. b) Señal de Voigt simulada a partir del mecanismo mostrado en (a).

Como ilustración de la aplicación del efecto Voigt, se presenta un ejemplo en el semiconductor magnético (Ga,Mn)As, donde se ha observado un gran efecto Voigt.^[20] A bajas temperaturas (generalmente para $T<T_{c}/2$ ), este material presenta una anisotropía biaxial con la magnetización alineada a lo largo (o cerca) de las direcciones <100>.^[21]

En la figura 1 se muestra un ciclo de histéresis típico que contiene el efecto Voigt. Este ciclo se obtuvo enviando luz polarizada linealmente a lo largo de la dirección [110] con un ángulo de incidencia de aproximadamente 3° (pueden encontrarse más detalles en^[21]), midiendo la rotación debida a los efectos magneto-ópticos de la luz reflejada. A diferencia de los efectos Kerr longitudinal o polar comunes, el ciclo de histéresis es uniforme con respecto a la magnetización, lo que es una característica distintiva del efecto Voigt. Este ciclo se obtuvo con una incidencia de luz muy cercana a la normal y presenta una pequeña componente impar; es necesario realizar un tratamiento adecuado para extraer la parte simétrica de la histéresis (correspondiente al efecto Voigt) y la parte asimétrica (correspondiente al efecto Kerr longitudinal).^[20]

En el caso de la histéresis presentada, el campo se aplicó en la dirección [1-10]. El mecanismo de conmutación es el siguiente:^[21]

Se comienza con un campo negativo alto y la magnetización se encuentra cerca de la dirección [-1-10] (posición 1).
El campo magnético disminuye, lo que produce una rotación coherente de la magnetización desde 1 hasta 2.
Al llegar a campo positivo, la magnetización cambia bruscamente de 2 a 3 mediante nucleación y propagación de dominios magnéticos, lo que define un primer campo coercitivo denominado $H_{1}$ .
La magnetización permanece cerca del estado 3 mientras rota coherentemente hacia el estado 4, más cercano a la dirección del campo aplicado.
Nuevamente, la magnetización cambia bruscamente de 4 a 5 mediante nucleación y propagación de dominios magnéticos. Este cambio se debe a que la posición de equilibrio final (estado 5) tiene menor energía magnética que el estado 4. Esto da lugar a otro campo coercitivo llamado $H_{2}$ .
Finalmente, la magnetización rota coherentemente desde el estado 5 hasta el estado 6.

La simulación de este escenario se muestra en la figura 2, con:^[22]

\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad}

Como puede observarse, la histéresis simulada es cualitativamente similar a la experimental. Nótese que la amplitud en $H_{1}$ o $H_{2}$ es aproximadamente el doble de $P_{\text{Voigt}}$ .

Véase también

Referencias

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Datos: Q1137732

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