Fórmulas de Mollweide

En trigonometría, las fórmulas de Mollweide, o en algunos textos antiguos ecuaciones de Mollweide, que llevan el nombre de Karl Mollweide, son unas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.^[1][2] Se pueden usar para comprobar el resultado de la resolución de triángulos.^[3]

Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo y sean α, β y γ las medidas de los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. Las fórmulas de Mollweide establecen que:

${\displaystyle {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\operatorname {sen} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}}$

y que:

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}.}$

Cada una de estas identidades utiliza seis medidas de un triángulo: los tres ángulos y la longitud de los tres lados.

Una generalización de la fórmula de Mollweide se cumple para un cuadrilátero cíclico ${\displaystyle \square ABCD.}$ Denotando las longitudes de los lados como ${\displaystyle |AB|=a,}$ ${\displaystyle |BC|=b,}$ ${\displaystyle |CD|=c,}$ y ${\displaystyle |DA|=d}$ y las medidas de los ángulos como ${\displaystyle \angle {DAB}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \angle {ABC}=\beta ,}$ ${\displaystyle \angle {BCD}=\gamma ,}$ y ${\displaystyle \angle {CDA}=\delta .}$ Si ${\displaystyle E}$ es el punto de intersección de las diagonales, denotando ${\displaystyle \angle {CED}=\theta ,}$ entonces:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\gamma -\delta )}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\delta -\gamma )}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

Un triángulo puede considerarse como un cuadrilátero con un lado de longitud cero. Desde esta perspectiva, a medida que ${\displaystyle d}$ se aproxima a cero, un cuadrilátero cíclico converge en un triángulo cíclico (todos los triángulos son cíclicos), y las fórmulas anteriores se simplifican a las fórmulas análogas de triángulos.

• Teorema del seno
• Teorema del coseno
• Teorema de la tangente

• H. Arthur De Kleine (diciembre de 1988). «Proof Without Words: Mollweide's Equation». Mathematics Magazine 61 (5): 281.