Matemáticas experimentales

Las matemáticas experimentales es un enfoque matemático en el que se utiliza la computación para investigar objetos matemáticos e identificar propiedades y patrones.^[1] Se ha definido como «la rama de las matemáticas que se ocupa, en última instancia, de la codificación y transmisión de conocimientos dentro de la comunidad matemática mediante la exploración experimental (en el sentido galileano, baconiano, aristotélico o kantiano) de conjeturas y creencias más informales, así como un análisis cuidadoso de los datos obtenidos en este proceso».^[2]

Como expresó Paul Halmos: «Las matemáticas no son una ciencia deductiva; eso es un cliché. Cuando se intenta demostrar un teorema, no se trata simplemente de enumerar las hipótesis y luego empezar a razonar. Se hace mediante ensayo y error, experimentación y conjeturas. Se busca averiguar cuáles son los hechos, y en ese sentido, lo que se hace es similar a lo que hace un técnico de laboratorio».^[3]

Los matemáticos siempre han practicado la matemática experimental. Los registros existentes de las matemáticas tempranas, como las matemáticas babilónicas, suelen consistir en listas de ejemplos numéricos que ilustran identidades algebraicas. Sin embargo, a partir del siglo XVII, las matemáticas modernas desarrollaron la tradición de publicar los resultados en una presentación final, formal y abstracta. Los ejemplos numéricos que pudieron haber llevado a un matemático a formular originalmente un teorema general no se publicaron y, por lo general, se olvidaron.

La matemática experimental como área de estudio independiente resurgió en el siglo XX, cuando la invención de la computadora electrónica amplió enormemente el alcance de los cálculos factibles, con una velocidad y precisión mucho mayores que cualquier otra disponible para las generaciones anteriores de matemáticos. Un hito y logro significativo de la matemática experimental fue el descubrimiento en 1995 de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe para los dígitos binarios de π. Esta fórmula no se descubrió mediante razonamiento formal, sino mediante búsquedas numéricas en una computadora; solo después se encontró una demostración rigurosa.^[4]

Los objetivos de las matemáticas experimentales son «generar comprensión y conocimiento; generar y confirmar o confrontar conjeturas; y, en general, hacer que las matemáticas sean más tangibles, dinámicas y entretenidas tanto para el investigador profesional como para el principiante».^[5]

Los usos de las matemáticas experimentales se han definido de la siguiente manera:^[5]

1. Adquirir perspectiva e intuición.
2. Descubrir nuevos patrones y relaciones.
3. Usar representaciones gráficas para sugerir principios matemáticos subyacentes.
4. Probar y, sobre todo, refutar conjeturas.
5. Explorar un posible resultado para determinar si merece una demostración formal.
6. Sugerir enfoques para la demostración formal.
7. Reemplazar largas derivaciones manuales por derivaciones informáticas.
8. Confirmar resultados obtenidos analíticamente.

Las matemáticas experimentales emplean métodos numéricos para calcular valores aproximados de integrales y series infinitas. La aritmética de precisión arbitraria se utiliza a menudo para establecer estos valores con un alto grado de precisión, típicamente 100 cifras significativas o más. Posteriormente, se emplean algoritmos de relaciones enteras para buscar relaciones entre estos valores y constantes matemáticas. Trabajar con valores de alta precisión reduce la posibilidad de confundir una coincidencia matemática con una relación verdadera. Se buscará entonces una demostración formal de una relación conjeturada; a menudo es más fácil encontrar una demostración formal una vez que se conoce la forma de una relación conjeturada.

Si se busca un contraejemplo o se intenta una demostración a gran escala por agotamiento, se pueden utilizar técnicas de computación distribuida para dividir los cálculos entre varios ordenadores.

Se utiliza con frecuencia software matemático general o software específico de dominio, diseñado para abordar problemas que requieren alta eficiencia. El software matemático experimental suele incluir mecanismos de detección y corrección de errores, comprobaciones de integridad y cálculos redundantes diseñados para minimizar la posibilidad de que los resultados se invaliden por un error de hardware o software.

Las aplicaciones y ejemplos de las matemáticas experimentales incluyen:

• Buscando un contraejemplo a una conjetura
  • Roger Frye utilizó técnicas de matemática experimental para encontrar el contraejemplo más pequeño de la conjetura de la suma de potencias de Euler.
  • El proyecto ZetaGrid se creó para buscar un contraejemplo a la hipótesis de Riemann.
  • Tomás Oliveira e Silva buscó un contraejemplo a la conjetura de Collatz.
• Encontrar nuevos ejemplos de números u objetos con propiedades particulares
  • La Great Internet Mersenne Prime Search está buscando nuevos números primos de Mersenne.
  • La Gran Búsqueda de Caminos Periódicos está buscando nuevos caminos periódicos.
  • El proyecto OGR de distributed.net buscó reglas de Golomb óptimas.
  • El proyecto PrimeGrid busca los números más pequeños de Riesel y Sierpiński.
• Encontrar patrones numéricos fortuitos
  • Edward Lorenz descubrió el atractor de Lorenz, un ejemplo temprano de un sistema dinámico caótico, al investigar comportamientos anómalos en un modelo meteorológico numérico.
  • La espiral de Ulam fue descubierta por accidente.
  • El patrón en los números de Ulam fue descubierto por accidente.
  • El descubrimiento de la constante de Feigenbaum por Mitchell Feigenbaum se basó inicialmente en observaciones numéricas, seguidas de una prueba rigurosa.
• Uso de programas informáticos para comprobar un número grande pero finito de casos para completar una prueba asistida por computadora por agotamiento
  • Prueba de la conjetura de Kepler de Thomas Hales.
  • Varias pruebas del teorema de los cuatro colores.
  • Prueba de Clement Lam de la no existencia de un plano proyectivo finito de orden 10.
  • Gary McGuire demostró que para resolver un Sudoku único se necesitan al menos 17 pistas.
• Validación simbólica (mediante álgebra computacional) de conjeturas para motivar la búsqueda de una prueba analítica
  • Se encontraron soluciones a un caso especial del problema cuántico de los tres cuerpos, conocido como el ion-molécula de hidrógeno, en los conjuntos básicos estándar de la química cuántica, antes de percatarse de que todas conducían a la misma solución analítica única en términos de una generalización de la función W de Lambert. Relacionado con este trabajo está el aislamiento de un vínculo previamente desconocido entre la teoría de la gravedad y la mecánica cuántica en dimensiones inferiores (véase gravedad cuántica y sus referencias).
  • En el ámbito de la mecánica relativista de muchos cuerpos, concretamente la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo: la equivalencia entre un potencial avanzado de Liénard-Wiechert de la partícula j que actúa sobre la partícula i y el potencial correspondiente para la partícula i que actúa sobre la partícula j se demostró exhaustivamente hasta el orden  antes de ser demostrada matemáticamente. La teoría de Wheeler-Feynman ha recuperado interés debido a la no localidad cuántica.
  • En el ámbito de la óptica lineal, se verificó la expansión en serie de la envolvente del campo eléctrico para pulsos de luz ultracortos que viajan en medios no isótropos. Las expansiones previas habían sido incompletas: el resultado reveló un término adicional, confirmado experimentalmente.
• Evaluación de series infinitas, productos infinitos e integrales (véase también integración simbólica), generalmente mediante un cálculo numérico de alta precisión y, posteriormente, utilizando un algoritmo de relación entera (como la Calculadora Simbólica Inversa) para encontrar una combinación lineal de constantes matemáticas que coincida con este valor. Por ejemplo, la siguiente identidad fue redescubierta por Enrico Au-Yeung, alumno de Jonathan Borwein, mediante búsqueda por computadora y el algoritmo PSLQ en 1993:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}}.\end{aligned}}}$

• Investigaciones visuales

En Las Perlas de Indra, David Mumford y otros investigaron varias propiedades de la transformación de Möbius y el grupo de Schottky utilizando imágenes de los grupos generadas por computadora que: proporcionaron evidencia convincente para muchas conjeturas y atraen a una mayor exploración.

• Integral de Borwein
• Prueba asistida por ordenador
• Pruebas y Refutaciones

1. ↑ Weisstein, Eric W. «Experimental Mathematics». mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado el 17 de octubre de 2025. 
2. ↑ «Conclusion». oldweb.cecm.sfu.ca. Archivado desde el original el 17 de abril de 2012. Consultado el 17 de octubre de 2025. 
3. ↑ Halmos, Paul R. (1985). I Want to be a Mathematician. doi:10.1007/978-1-4612-1084-9. Consultado el 17 de octubre de 2025. 
4. ↑ «Wayback Machine». crd.lbl.gov. Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011. Consultado el 17 de octubre de 2025. 
5. 1 2 Borwein, Jonathan M.; Bailey, David H. (2004). Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century. AK Peters. ISBN 978-1-56881-211-3.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)