Probabilidad en el póquer

En el straight poker y en el five-card draw, donde no hay cartas ocultas, a los jugadores se les reparten cinco cartas de una baraja de cincuenta y dos cartas.

La siguiente tabla enumera la frecuencia (absoluta) de cada mano, dadas todas las combinaciones de cinco cartas extraídas al azar y sin remplazo de una baraja completa de cincuenta y dos cartas. No se tienen en cuenta los comodines. En esta tabla:

• Manos distintas: es el número de formas distintas de formar la mano, sin contar los palos diferentes.
• Frecuencia: es el número de formas de sacar la mano, incluyendo los mismos valores de cartas en diferentes palos.
• La Probabilidad de sacar una mano determinada se calcula dividiendo el número de formas de sacar la mano («frecuencia») por el número total de manos de cinco cartas: el espacio muestral —${\displaystyle {52 \choose 5}=2\,598\,960}$—. Por ejemplo, hay cuatro maneras diferentes de sacar una escalera real (una para cada palo), por lo que la probabilidad es ${\displaystyle {\frac {4}{2\,598\,960}}}$ o una entre 649 740. Por lo tanto, es de esperar que se obtenga esta mano una vez de cada 649 740 jugadas, es decir, casi el 0.000 154 % de las veces.

• Probabilidad acumulada: se refiere a la probabilidad de sacar una mano tan buena o mejor que la especificada. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un trío es aproximadamente del 2.11 %, mientras que la probabilidad de sacar una mano al menos tan buena como un trío es aproximadamente del 2.87 %. La probabilidad acumulada se determina sumando la probabilidad de una mano con las probabilidades de todas las manos por encima de ella.
• Las probabilidades se definen como la relación entre el número de formas de no sacar la mano y el número de formas de sacarla. En estadística, esto se denomina probabilidades en contra. Por ejemplo, con una escalera real, hay 4 formas de sacar una, y 2 598 956 formas de sacar otra cosa, por lo que las probabilidades de no sacar una escalera real son 2 598 956 : 4, o 649 739 : 1. La fórmula para establecer las probabilidades también puede expresarse como ${\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)-1:1}$, donde p es la probabilidad antes mencionada.
• Los valores dados para «probabilidad», «probabilidad acumulada» y «probabilidades» están redondeados para simplificar; los valores de «manos distintas» y «frecuencia» son exactos.

La función nCr de la mayoría de las calculadoras científicas puede utilizarse para calcular las frecuencias de las manos; introduciendo nCr con 52 y 5, por ejemplo, se obtiene ${\displaystyle {52 \choose 5}=2\,598\,960}$ como en el caso anterior.

Mano	Manos diferentes	Frecuencia	Probabilidad	Probabilidad acumulada	Probabilidades en contra	Expresión matemática de la frecuencia absoluta
Escalera real	1	4	0.000 154 %	0.000 154 %	649 739 : 1	${\displaystyle {4 \choose 1}}$
Escalera de color (excluida la escalera real)	9	36	0.001 39 %	0.0015 %	72 192.33 : 1	${\displaystyle {10 \choose 1}{4 \choose 1}-{4 \choose 1}}$
Póquer	156	624	0.024 01 %	0.0256 %	4165 : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 4}{12 \choose 1}{4 \choose 1}}$
Full house	156	3744	0.1441 %	0.17 %	694.1667 : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 1}{4 \choose 2}}$
Color (excluidas las escalera real y la escalera de color)	1.277	5108	0.1965 %	0.367 %	508.8019 : 1	${\displaystyle {13 \choose 5}{4 \choose 1}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}}$
Escalera (excluidas las escalera real y la escalera de color)	10	10 200	0.3925 %	0.76 %	254.8 : 1	${\displaystyle {10 \choose 1}{4 \choose 1}^{5}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}}$
Trío	858	54 912	2.1128 %	2.87 %	47.329 55 : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}}$
Doble par	858	123 552	4.7539 %	7.62 %	21.035 35 : 1	${\displaystyle {13 \choose 2}{4 \choose 2}^{2}{11 \choose 1}{4 \choose 1}}$
Par	2860	1 098 240	42.2569 %	49.9 %	2.366 477 : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 2}{12 \choose 3}{4 \choose 1}^{3}}$
Carta alta	1277	1 302 540	50.1177 %	100 %	1.995 301 5 : 1	${\displaystyle \left[{13 \choose 5}-{10 \choose 1}\right]\left[{4 \choose 1}^{5}-{4 \choose 1}\right]}$
Total	7462	2 598 960	100 %	---	0 : 1	${\displaystyle {52 \choose 5}}$

La escalera real es un caso de la escalera de color. Puede formarse de cuatro maneras (una para cada palo), lo que le da una probabilidad del 0.000 154 % y probabilidades de 649 739 : 1.

Si no se tienen en cuenta las escaleras de as bajo y las escaleras de color de as bajo, las probabilidades de cada una de ellas se reducen: las escaleras de color y las escaleras de color son 9/10 de lo que serían de otro modo. Las cuatro escaleras de color perdidas se convierten en color y las 1020 escaleras perdidas se convierten en sin pareja.

Tenga en cuenta que como los palos no tienen valor relativo en el póquer, dos manos pueden considerarse idénticas si una mano puede transformarse en la otra intercambiando los palos. Por ejemplo, la mano 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ es idéntica a 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥ porque sustituyendo todos los tréboles de la primera mano por diamantes y todas las picas por corazones se obtiene la segunda mano. Así que eliminando las manos idénticas que ignoran los valores relativos de los palos, sólo hay 134 459 manos distintas.

El número de manos de póquer distintas es aún menor. Por ejemplo, 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ y 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ no son manos idénticas cuando sólo se ignoran las asignaciones de palos porque una mano tiene tres palos, mientras que la otra sólo tiene dos. Esa diferencia podría afectar al valor relativo de cada mano cuando hay más cartas por venir. Sin embargo, aunque las manos no sean idénticas desde esa perspectiva, siguen formando manos de póquer equivalentes porque cada mano es una mano de cartas altas A-Q-8-7-3. Hay 7.462 manos de póquer distintas.

En algunas variantes populares del póquer, como el Texas hold 'em, la variante de póquer más extendida en general,^[3] un jugador utiliza la mejor mano de póquer de cinco cartas de un total de siete.

Las frecuencias se calculan de forma similar a las mostradas para las manos de cinco cartas,^[4] excepto que surgen complicaciones adicionales debido a las dos cartas extra en la mano de póquer de siete cartas. El número total de manos distintas de siete cartas es ${\displaystyle {52 \choose 7}=133\,784\,560}$ Cabe destacar que la probabilidad de una mano sin pareja es «menor» que la probabilidad de una mano con una o dos parejas.

La escalera de color con as alto o escalera real es ligeramente más frecuente (4324) que las escaleras de color inferiores (4140 cada una) porque las dos cartas restantes pueden tener cualquier valor; una escalera de color con rey alto, por ejemplo, no puede tener el as de su palo en la mano (ya que eso la convertiría en as alto).

Mano	Frecuencia	Probabilidad	Acumulado	Probabilidades en contra	Expresión matemática de la frecuencia absoluta
Escalera real	4324	0.0032 %	0.0032 %	30 940 : 1	${\displaystyle {4 \choose 1}{47 \choose 2}}$
Escalera de color (excluida la escalera real)	37 260	0.0279 %	0.0309 %	3589.6 : 1	${\displaystyle {9 \choose 1}{4 \choose 1}{46 \choose 2}}$
Póquer	224 848	0.168 %	0.199 %	594 : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{48 \choose 3}}$
Full house	3 473 184	2.60 %	2.80 %	37.5 : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{13 \choose 2}{4 \choose 3}^{2}{44 \choose 1}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}^{2}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 1}{11 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}\right]\end{aligned}}}$
Color (excluidas las escalera real y la escalera de color)	4 047 644	3.03 %	5.82 %	32.1 : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 7}-217\right]\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 39\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 5}-10\right]\times {39 \choose 2}\right]\end{aligned}}}$
Escalera (excluidas las escalera real y la escalera de color)	6 180 020	4.62 %	10.4 %	20.6 : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[217\times \left[4^{7}-756-4-84\right]\right]\\+&{}\left[71\times 36\times 990\right]\\+&\left[10\times 5\times 4\times \left[256-3\right]+10\times {5 \choose 2}\times 2268\right]\end{aligned}}}$
Trío	6 461 620	4.83 %	15.3 %	19.7 : 1	${\displaystyle \left[{13 \choose 5}-10\right]{5 \choose 1}{4 \choose 1}\left[{4 \choose 1}^{4}-3\right]}$
Doble par	31 433 400	23.5 %	38.8 %	3.26 : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[1277\times 10\times \left[6\times 62+24\times 63+6\times 64\right]\right]\\+&\left[{13 \choose 3}{4 \choose 2}^{3}{40 \choose 1}\right]\end{aligned}}}$
Par	58 627 800	43.8 %	82.6 %	1.28 : 1	${\displaystyle \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 6\times 6\times 990}$
Carta alta	23 294 460	17.4 %	100 %	4.74 : 1	${\displaystyle 1499\times \left[4^{7}-756-4-84\right]}$
Total	133 784 560	100 %	---	0 : 1	${\displaystyle {52 \choose 7}}$

(Las frecuencias dadas son exactas; las probabilidades y probabilidades son aproximadas).

Dado que los palos no tienen valor relativo en el póquer, dos manos pueden considerarse idénticas si una mano puede transformarse en la otra intercambiando los palos. Eliminando las manos idénticas que ignoran los valores relativos de los palos, quedan 6 009 159 manos distintas de siete cartas.

El número de manos de póquer de cinco cartas distintas que son posibles con siete cartas es 4824. Sorprendentemente, este número es menor que el de manos de póquer de cinco cartas. Sorprendentemente, este número es menor que el de manos de póquer de cinco cartas a partir de cinco cartas, ya que algunas manos de cinco cartas son imposibles con siete cartas (por ejemplo, 7-alto y 8-alto).

Algunas variantes del póquer, llamadas lowball, utilizan una mano baja para determinar la mano ganadora. En la mayoría de las variantes de lowball, el as se cuenta como la carta más baja y las escaleras y las escaleras de color no cuentan para una mano baja, por lo que la mano más baja es la mano de cinco ases A-2-3-4-5, también llamada rueda. La probabilidad se calcula en función de ${\displaystyle {52 \choose 5}=2\,598\,960}$ el número total de combinaciones de cinco cartas. (Las frecuencias dadas son exactas; las probabilidades y probabilidades son aproximadas).

Como puede verse en la tabla, algo más de la mitad de las veces un jugador recibe una mano que no tiene pares, treses o cuatros de su clase. (50.7 %)

Si los ases no son bajos, simplemente rote las descripciones de las manos de modo que 6-alto sustituya a 5-alto como mejor mano y as-alto sustituya a rey-alto como peor mano.

Algunos jugadores no ignoran las escaleras y los colorines cuando calculan la mano más baja en el lowball. En este caso, la mano más baja es A-2-3-4-6 con al menos dos palos. Las probabilidades se ajustan en la tabla anterior de forma que «5-alto» no aparezca en la lista, «6-alto» tenga una mano distinta y «rey-alto» tenga 330 manos distintas, respectivamente. La línea Total también necesita ajustes.

En algunas variantes del póquer, un jugador utiliza la mejor mano baja de cinco cartas seleccionadas entre siete cartas. En la mayoría de las variantes de lowball, el as se cuenta como la carta más baja y las escaleras y las escaleras de color no cuentan para una mano baja, por lo que la mano más baja es la mano de cinco cartas A-2-3-4-5, también llamada «rueda». La probabilidad se calcula en función de:${\displaystyle {52 \choose 7}=133\,784\,560}$ el número total de combinaciones de siete cartas.

La tabla no incluye manos de cinco cartas con al menos una pareja. Su «total» representa el 95.4 % de las veces que un jugador puede elegir una mano baja de cinco cartas sin ninguna pareja.

(Las frecuencias dadas son exactas; las probabilidades y probabilidades son aproximadas).

Si los ases no son bajos, simplemente cambie las descripciones de las manos de modo que 6-alto sustituya a 5-alto como mejor mano y as-alto sustituya a rey-alto como peor mano.

Algunos jugadores no ignoran las escaleras y los colorines cuando calculan la mano más baja en el lowball. En este caso, la mano más baja es A-2-3-4-6 con al menos dos palos. Las probabilidades se ajustan en la tabla anterior de forma que «5-alto» no aparece, «6-alto» tiene 781 824 manos distintas y «Rey-alto» tiene 21 457 920 manos distintas, respectivamente. La línea Total también necesita ajustes.