Problema de Riemann

Un problema de Riemann», que lleva el nombre de Bernhard Riemann, es un problema de valor inicial específico compuesto por una ecuación de conservación junto con datos iniciales constantes por tramos que presentan una única discontinuidad en el dominio de interés. El problema de Riemann es muy útil para comprender ecuaciones como las ecuaciones de conservación de Euler, ya que todas las propiedades, como los choques y las ondas de rarefacción, aparecen como características en la solución. También proporciona una solución exacta a algunas ecuaciones no lineales complejas, como las ecuaciones de Euler.

En análisis numérico, los problemas de Riemann aparecen de forma natural en los método de los volúmenes finitos para la resolución de ecuaciones de leyes de conservación debido a la discreción de la malla. Por ello, se utilizan ampliamente en simulaciones de dinámica de fluidos computacional y de magnetohidrodinámica computacional. En estos campos, los problemas de Riemann se calculan utilizando solucionadores de Riemann.

A modo de ejemplo sencillo, analizamos las propiedades del problema de Riemann unidimensional en dinámica de gases (Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, pág. 44, ejemplo 2.5)

Las condiciones iniciales vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ para }}x\leq 0\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ para }}x>0}$

donde «x» = 0 separa dos estados diferentes, junto con las ecuaciones lineales de la dinámica de gases (véase dinámica de gases para la derivación).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

donde podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que ${\displaystyle a\geq 0}$. Ahora podemos reescribir las ecuaciones anteriores en forma conservativa:

${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

donde

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

y el índice denota la derivada parcial con respecto a la variable correspondiente (es decir, x o t).

Los valores propios del sistema son las características del sistema ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$. Estos dan la velocidad de propagación del medio, incluida la de cualquier discontinuidad, que en este caso es la velocidad del sonido. Los vectores propios correspondientes son

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Al descomponer el estado izquierdo ${\displaystyle u_{L}}$ en términos de los vectores propios, obtenemos para algunos ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

Ahora podemos resolver ${\displaystyle \alpha _{1}}$ y ${\displaystyle \alpha _{2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

De forma análoga

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}}$

para

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Utilizando esto, en el dominio comprendido entre las dos características ${\displaystyle t=|x|/a}$, obtenemos la solución constante final:

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

y la solución (constante por tramos) en todo el dominio ${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}}$

Aunque se trata de un ejemplo sencillo, muestra las propiedades básicas. En particular, las características descomponen la solución en tres dominios. La velocidad de propagación de estas dos ecuaciones es equivalente a la velocidad de propagación del sonido.

La característica más rápida define la condición de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL), que establece la restricción para el paso de tiempo máximo para el que un método numérico explícito es estable. Por lo general, cuantas más ecuaciones de conservación se utilicen, más características intervienen.

• Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8. 
• LeVeque, Randall J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6. 

• Fluidodinámica computacional
• Magnetohidrodinámica computacional
• Solucionador de Riemann