Proyección escalar

En matemáticas, la proyección escalar de un vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ sobre (o respecto a) un vector ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ también conocida como resolución escalar de ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en la dirección de ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ viene dada por:

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}$

donde el operador ${\displaystyle \cdot }$ denota un producto escalar, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ es el vector unitario en la dirección de ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$, ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ es la longitud de ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ y ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo entre ${\displaystyle \mathbf {a} }$ y ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

El término componente escalar se refiere a veces a la proyección escalar, ya que, en coordenadas cartesianas, las componentes de un vector son las proyecciones escalares en las direcciones del sistema de coordenadas.^[1]

La proyección escalar, como su nombre indica, es un escalar, igual a la longitud de la proyección de ${\displaystyle \mathbf {a} }$ sobre ${\displaystyle \mathbf {b} }$, con signo negativo si la proyección tiene dirección opuesta respecto a ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Multiplicar la proyección escalar de ${\displaystyle \mathbf {a} }$ sobre ${\displaystyle \mathbf {b} }$ por ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ la convierte en la proyección ortogonal mencionada anteriormente, también llamada proyección vectorial de ${\displaystyle \mathbf {a} }$ sobre ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Si se conoce el ángulo ${\displaystyle \theta }$ entre ${\displaystyle \mathbf {a} }$ y ${\displaystyle \mathbf {b} }$, la proyección escalar de ${\displaystyle \mathbf {a} }$ sobre ${\displaystyle \mathbf {b} }$ se puede calcular usando la expresión

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .}$ (${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$ en la figura)

La fórmula anterior se puede invertir para obtener el coseno del ángulo θ.

Cuando no se conoce ${\displaystyle \theta }$, el coseno de ${\displaystyle \theta }$ se puede calcular en términos de ${\displaystyle \mathbf {a} }$ y ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ mediante la siguiente propiedad^[2] del producto escalar ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

Por esta propiedad, la definición de la proyección escalar ${\displaystyle s}$ toma la forma siguiente:

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,}$

La proyección escalar tiene signo negativo si ${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$. Coincide con la longitud de la proyección vectorial correspondiente si el ángulo es menor que 90°. Más exactamente, si la proyección del vector se denota como ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ y su longitud como ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$, entonces:

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$ si ${\displaystyle (0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }),}$

${\displaystyle s=0}$ si ${\displaystyle (\theta =90^{\circ }),}$ es decir, si los dos vectores son perpendiculares entre sí;

${\displaystyle s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$ si ${\displaystyle (90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }).}$

• Producto escalar
• Producto vectorial
• Proyección vectorial

• Dot products - www.mit.org
• Scalar projection - Flexbooks.ck12.org
• Scalar Projection & Vector Projection - medium.com
• Lesson Explainer: Scalar Projection | Nagwa