Tabla de Cayley

La tabla de Cayley de un grupo finito es una tabla que describe cómo es la operación de dicho grupo. Presenta una estructura muy similar a la famosa tabla pitagórica.

Fueron introducidas por Arthur Cayley en un artículo de 1854 («On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ ⁿ = 1»), en el que describe cualquier grupo en término de permutaciones.^[1]

Dado el grupo finito G={g₁, g₂, ..., g_n}, su tabla de Cayley tendrá n filas y n columnas. En la fila i, columna j, aparece el resultado de la operación g_i*g_j (donde * es la operación del grupo).

• Tomamos G={0,1,2} con la operación suma módulo 3. Entonces su tabla de Cayley es:

• El grupo simétrico S₃ tiene los siguientes elementos:

${\displaystyle id=g_{1}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&2&3\end{array}}\right)\;,\quad g_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&3&2\end{array}}\right)\;,}$

${\displaystyle \qquad g_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}}\right)\;,\quad g_{4}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\end{array}}\right)\;,}$

${\displaystyle \qquad g_{5}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&1&2\end{array}}\right)\;,\quad g_{6}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&1\end{array}}\right)\;.}$

La tabla de Cayley para (S₃, ${\displaystyle \circ }$) es:

${\displaystyle \circ }$	g1	g2	g3	g4	g5	g6
g1	g1	g2	g3	g4	g5	g6
g2	g2	g1	g5	g6	g3	g4
g3	g3	g4	g1	g2	g6	g5
g4	g4	g3	g6	g5	g1	g2
g5	g5	g6	g2	g1	g4	g3
g6	g6	g5	g4	g3	g2	g1

• Un grupo es abeliano si y solo si su tabla de Cayley es simétrica.
• En la tabla de Cayley, cada elemento del grupo aparece una y solo una vez en cada fila y cada columna. O sea que cada fila y columna es una permutación de los elementos del grupo.^[2]