Teorema de Laguerre

En análisis matemático, el teorema de Laguerre sirve para aproximar las raíces de un polinomio. Este teorema debe su nombre al matemático francés Edmond Laguerre (1834-1886).

Enunciado

Teorema de Laguerre (caso real):^[1]

Si ${\textstyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ coincide con $n$ y tiene $n$ raíces reales, entonces todas estas raíces están en el intervalo $[u,v]$ , donde $u$ y $v$ son las raíces del polinomio:
$nx^{2}+2a_{n-1}x+\left(2(n-1)a_{n-2}-(n-2)a_{n-1}^{2}\right)$

Este teorema es un caso real del teorema de Gauss-Lucas.

Teorema de Laguerre (caso complejo):^[2]

Sea $f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{0}$ un polinomio unitario de grado $n$ con coeficientes complejos. Considérese un punto $z_{0}$ tal que ${\textstyle f'(z_{0})\neq 0}$ .
Entonces, existe al menos una raíz de $f$ en el disco cerrado centrado en $z_{0}$ y de radio $n{\frac {|f(z_{0})|}{|f'(z_{0})|}}$

Demostración
Se asume que $f(z_{0})\neq 0$ y se escribe $f(z)$ en la forma ${\textstyle f(z)=\prod _{k=1}^{n}(z-\zeta _{k})}$ $f'(z_{0})=\sum _{i=0}^{n}\displaystyle \prod _{j=0 \atop j\neq i}^{n}(z_{0}-\zeta _{j})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(z_{0})}{z_{0}-\zeta _{k}}}$ Entonces, ${\frac {f'(z_{0})}{f(z_{0})}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z_{0}-\zeta _{k}}}$ y por lo tanto ${\frac {\|f'(z_{0})\|}{\|f(z_{0})\|}}\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\|z_{0}-\zeta _{k}\|}}\leq {\frac {n}{\min _{k}\|z_{0}-\zeta _{k}\|}},$ dicho de otro modo, $\min _{k}\|z_{0}-\zeta _{k}\|\leq n{\frac {\|f(z_{0})\|}{\|f'(z_{0})\|}},$ lo que completa la demostración