Teorema de convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ dos funciones cuya convolución se expresa con ${\displaystyle f\ast g}$. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ${\displaystyle \otimes }$). Sea ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ el operador de la transformada de Fourier, con lo que ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f]}$ y ${\displaystyle {\mathcal {F}}[g]}$ son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])}$

donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f\cdot g]={\frac {{\mathcal {F}}[f]*{\mathcal {F}}[g]}{\sqrt {2\pi }}}}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$, podemos escribir:

${\displaystyle f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]}$

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ que son inconvenientes aquí. Sean ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Sean ${\displaystyle F}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle G}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx}$

${\displaystyle G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx}$.

Sea ${\displaystyle h}$ la convolución de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$

${\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.}$

Nótese que

${\displaystyle \int \int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.}$

Del teorema de Fubini tenemos que ${\displaystyle h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, así que su transformada de Fourier está definida. Sea ${\displaystyle H}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.}$

Obsérvese que ${\displaystyle |f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|}$ y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

${\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.}$

Sustituyendo ${\displaystyle y=z-x}$; tenemos ${\displaystyle dy=dz}$, y por lo tanto:

${\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.}$

Estas dos integrales son las definiciones de ${\displaystyle F(\omega )}$ y ${\displaystyle G(\omega )}$, así que:

${\displaystyle H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).}$

Que es lo que queríamos demostrar.